Частотные характеристики систем радиоавтоматики 2 страница

Матрица Гурвица имеет вид:

(4.5)

Порядок составления матрицы Гурвица следующий. В левом верхнем углу матрицы записывается коэффициент , по главной диагонали располагаются коэффициенты характеристического уравнения с младшими индексами, над элементами главной диагонали записываются коэффициенты с убывающими индексами, под элементами – с возрастающими.

Для оценки устойчивости системы радиоавтоматики необходимо вычислить определители Гурвица, которые получают из матрицы (4.5) путём вычёркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы. Например, первый определитель имеет вид:

Система радиоавтоматики устойчива, если при

(4.6)

Раскрыв по последнему столбцу, получим:

Так как , то для проверки устойчивости системы достаточно уточнить знаки только до определителя. Если , то система радиоавтоматики находится на границе устойчивости. Возможны два случая:

1) cвободный член характеристического уравнения равен нулю, что соответствует нейтрально устойчивой системе;

2) , что соответствует колебательной границе устойчивости.

Из условия вычисляется критический коэффициент усиления , соответствующий границе устойчивости. Отношение

называют запасом устойчивости по усилению, где - коэффициент передачи. Для нормального функционирования системы необходимо, чтобы

Пример 4.1. Оценить устойчивость системы, cостоящей из двух последовательно соединённых звеньев с передаточными функциями и .

Так как звенья соединены последовательно, то передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Так как характеристическое уравнение имеет вид:

, то

,

.

Так как это выражение равно нулю, если равен нулю числитель, то рассмотрим уравнение . Выпишем коэффициенты: Cоставим матрицу Гурвица:

.

Так как , , , то по критерию Гурвица система устойчива.

Пример 4.2. Для системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии определить запас устойчивости по усилению.

Запас устойчивости по усилению рассчитывается по формуле:

, где - коэффициент усиления. Критический коэффициент усиления находится из условия после составления матрицы Гурвица:

, cледовательно . После преобразований получаем уравнение:

Раскрыв скобки, приходим к уравнению:

Выпишем коэффициенты: , , , . Cоставим матрицу Гурвица:

.

Рассмотрим минор . Критический коэффициент усиления ищется из условия: . Тогда Следовательно, запас устойчивости по усилению рассчитывается следующим образом:

4.3 Частотные критерии устойчивости

В уравнении (4.2) заменим на , получим характеристический вектор:

(4.7)

Если корень характеристического уравнения расположен слева от мнимой оси, то вектор поворачивается на угол , если этот корень находится на комплексной плоскости справа от мнимой оси, то вектор поворачивается на угол .

Определим изменение аргумента вектора при изменении частоты :

.

Пусть корней характеристического уравнения расположены справа от мнимой оси, а остальные корней – слева.

Тогда .

В устойчивой системе , тогда

(4.8)

Рис.4.1. К оценке изменения аргумента характеристического вектора

Из выражения (4.8) следует критерий устойчивости Михайлова:

,

где и V - действительная и мнимая части характеристического вектора.

Критерий Михайлова. Система радиоавтоматики устойчива, если годограф характеристического вектора (изображение частотной характеристики на плоскости частотного переменного), начинаясь на положительной части действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении квадрантов, где - порядок характеристического уровня системы.

Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. В этом случае

.

Из этих уравнений можно определить значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости.

a) б) в)

Рис. 4.2. Общий вид характеристического вектора:

а – устойчивой системы; б- неустойчивой системы; в- системы на границе устойчивости.

Критерий Найквиста. Система радиоавтоматики, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами . В том случае, когда годограф частотной характеристики охватывает эту точку, система неустойчива.

Введём вектор ,

где

- частотная характеристика разомкнутой системы,

- характеристический вектор замкнутой системы,

- характеристический вектор разомкнутой системы.

Определим изменение аргумента вектора для случая, когда замкнутая система устойчива:

Изменение аргумента вектора будет равно нулю, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами .

4.4 Запасы устойчивости

При проектировании следует обеспечить определённые запасы устойчивости системы, которые характеризуют близость годографа частотной характеристики разомкнутой системы к точке с координатами . Запасы устойчивости определяются на двух частотах: частоте среза, при которой амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы равна единице и критической частоте, при которой фазочастотная характеристика равна .

Различают запас устойчивости по фазе и усилению. Запас устойчивости по фазе показывает, на какое значение фазочастотная характеристика разомкнутой системы на частоте среза отличается от :

Запас устойчивости по усилению определяет, во сколько раз нужно увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на границе устойчивости. Запас устойчивости по усилению вычисляется по формуле:

.

Cистемы радиоавтоматики, годографы частотных характеристик которых пересекают вещественную ось только справа от точки с координатами называют абсолютно устойчивыми.

Если годограф частотной характеристики разомкнутой системы пересекает вещественную ось и слева от точки с координатами , то систему называют условно устойчивой. Неустойчивой такая система может быть как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления. Для нормальной работы системы радиоавтоматики необходимо, чтобы запас устойчивости по усилению был , а запас устойчивости по фазе .

4.4.1. Оценка устойчивости по логарифмической частотной характеристике

Если годограф не имеет точек пересечения с вещественной осью слева от точки с координатами , то для устойчивости замкнутой системы радиоавтоматики необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

В условно устойчивых системах радиоавтоматики для оценки устойчивости следует в диапазоне частот, где логарифмическая амплитудно-частотная характеристика больше нуля подсчитать число переходов логарифмической фазочастотной характеристики через прямую . Если число положительных переходов через эту прямую равно числу отрицательных, то система в замкнутом состоянии устойчива.

Если , то система радиоавтоматики находится на границе устойчивости.

Критический коэффициент усиления вычисляют по формуле:

Пример 4.3. По логарифмическим частотным характеристикам оценить запас устойчивости по усилению в системе, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии: .

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика вычисляется по формуле:

.

Запас устойчивости по усилению вычисляется по формуле:

,

где соответствует частоте, где ФЧХ= .

Обозначим действительную часть через , а мнимую часть через . Очевидно, , если , . Следует заметить, что при любых значениях , а , если . Найдём амплитудно-частотную характеристику:

.

Так как степень знаменателя амплитудно-частотной характеристики больше степени числителя, то .

Найдём запас устойчивости по усилению:

.

4.4.2.Устойчивость систем с запаздыванием

- передаточная функция разомкнутой системы с запаздыванием, где

- передаточная функция разомкнутой системы без запаздывания, - время запаздывания.

- амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы с запаздыванием,

- фазочастотная характеристика разомкнутой системы с запаздыванием, где -фазочастотная характеристика разомкнутой системы без запаздывания.

Представляется возможным сделать вывод: запаздывание влияет только на фазочастотную характеристику, создавая на каждой частоте дополнительный фазовый сдвиг. Поэтому системы радиоавтоматики, устойчивые без запаздывания, могут быть неустойчивыми при включении в их состав устройств запаздывания.

5. Качество переходных процессов в САУ

5.1 Постановка задачи анализа качества работы систем радиоавтоматики

При анализе качества работы систем радиоавтоматики исходят из того, что структурная схема и параметры устройств системы известны. Требуется оценить качество её работы.

Показатели качества работы зависят не только от характеристик системы радиоавтоматики, но и от свойств, действующих на неё сигналов – управляющих воздействий и возмущающих воздействий (помех).

Законы изменения управляющих воздействий и помех обычно заранее неизвестны, поэтому качество работы систем радиоавтоматики определяется косвенными признаками, которые называют показателями качества работы системы.

Динамическая ошибка работы системы радиоавтоматики оценивается при управляющем воздействии вида

Существуют методы оценки качества работы систем радиоавтоматики, основанные на вычислении интегральных оценок. Часто используется квадратичная интегральная оценка:

,

где

- ошибка системы, равная разности входного и выходного сигналов; - постоянные коэффициенты.

Чем меньше значение интегральной оценки, тем выше качество работы системы и наоборот.

5.2 Методы анализа детерминированных процессов в линейных стационарных системах

В линейной стационарной системе воздействие и изучаемый процесс связаны дифференциальным уравнением:

,

где - операторный коэффициент передачи, .

Для получения аналитических выражений для процессов на выходе линейной системы применяется метод преобразований Лапласа:

,

где

- изображение выходного процесса.

При нулевых начальных условиях изображение равно:

,

где

- изображение входного воздействия, вычисляемое по формуле:

Cокращённая запись:

Для описания воздействия в системе радиоавтоматики часто используют функции времени, которые либо сами имеют разрыв непрерывности в точке , либо имеют разрывные в этой точке производные:

При воздействии, описываемом такими функциями, разрывы в точке может иметь также выходной процесс и его производные. В этом случае преобразование Лапласа определяется соотношением:

,

т.е. точка включается в интервал, на котором выполняется преобразование.

Во многих случаях достаточно знать значение выходного процесса только при :

5.2.1.Типовые входные воздействия

Для оценки свойств систем радиоавтоматики полезно рассмотреть их поведение при некоторых типовых воздействиях:

- ступенчатое воздействие,

- линейное воздействие,

- квадратичное воздействие,

- полиномиальное воздействие.

Линейное и квадратичное воздействия характерны для систем радиоавтоматики. Линейное воздействие возникает, например, в радиолокационном дальномере при постоянной радиальной скорости перемещения сопровождаемого объекта по отношению к локатору. Квадратичное воздействие соответствует, например, cлучаю, когда в системе фазовой автоподстройки частоты частота входного сигнала меняется по линейному закону.

5.3. Показатели качества переходного процесса в системе радиоавтоматики

В зависимости от характера собственных колебаний системы переходный процесс в ней может быть колебательным или апериодическим.

Если корни характеристического уравнения системы действительны, то собственные колебания системы и переходный процесс в ней апериодические. В случае комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения собственные колебания системы являются затухающими гармоническими и переходный процесс в системе колебательный.

К основным показателям качества переходного процесса в системе радиоавтоматики относятся следующие параметры:

1) длительность переходного процесса , равная интервалу времени с момента подачи сигнала до момента времени, когда выходной сигнал не будет отличаться от его установившегося значения более чем на 5%;

2) перерегулирование , равное отношению максимального значения выходного сигнала в переходном процессе к установившемуся значению:

;

3)время установления первого максимума выходного сигнала , характеризующее скорость изменения выходного сигнала в переходном процессе;

4) частота колебаний в переходном процессе , где - период колебаний.

Установившееся значение выходного сигнала системы вычисляется следующим образом:

при единичном входном сигнале , где - передаточная функция замкнутой системы.

В астатических системах радиоавтоматики установившееся значение выходного сигнала в переходном процессе равно единице, в статических системах - .

Пример 5.1.

Дана система с передаточной функцией звена .

Требуется найти перегулирование в системе.

Рис. 5.1. Cтруктурная схема системы радиоавтоматики

Передаточная функция замкнутой системы записывается в виде:

Для приведённого примера:

Разложим эту дробь в сумму обыкновенных дробей:

Получим систему уравнений:

Решением этой системы является следующий набор значений:

Таким образом,

Используя таблицу преобразований, имеем:

По графику (рис.5.1.) необходимо определить величину перерегулирования .

Установившиеся значение выходного сигнала системы вычисляется следующим образом:

где - передаточная функция замкнутой сиcтемы.

Рис.5.2. График переходной характеристики

В данном случае

Перерегулирование равно отношению максимального значения выходного сигнала в переходном процессе к установившемуся значению:

5.4. Частотные показатели качества

Частотные показатели качества работы систем радиоавтоматики определяются по амплитудно-частотной характеристике замкнутой системы.

К частотным показателям качества работы систем радиоавтоматики относятся следующие параметры:

1) полоса пропускания - диапазон частот, в котором амплитудно-частотная характеристика больше или равна единице. Если амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы радиоавтоматики во всём диапазоне частот меньше единицы, то полоса пропускания отсчитывается по уровню .

2) резонансная частота - частота, соответствующая максимуму амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы, эта частота характеризует частоту колебаний в переходном процессе;

Дата добавления: 2015-04-29