Частотные характеристики систем радиоавтоматики 3 страница

3) показатель колебательности - максимальное значение амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы. Обычно стремятся, чтобы показатель колебательности не превышал двух.

Рис.5.3. АЧХ замкнутой системы

6. Анализ точности работы систем

Помимо статистических ошибок точность работы систем радиоавтоматики характеризуется динамическими и переходными ошибками.

Динамическая ошибка – ошибка в установившемся режиме работы системы при действии на неё нестационарного сигнала.

Переходная ошибка – ошибка при работе системы в переходном процессе, который возникает при отработке начального рассогласования.

Динамическая точность работы систем радиоавтоматики определяется при медленно изменяющихся входных сигналах (воздействия, число производных от которых ограничено).

Cигнал относится к медленно изменяющемуся воздействию, так как число производных от этого сигнала неравных нулю, равно , а -я производная равна нулю. Гармонический сигнал не является медленно изменяющимся, так как число производных от него равно .

Переходные процессы в системах радиоавтоматики затухают значительно быстрее по сравнению с изменением медленно изменяющегося сигнала, поэтому и достигается установившейся динамический режим работы системы.

По определению передаточной функции рассогласования преобразование Лапласа для ошибки системы:

(6.1)

или в области действительного переменного

(6.2)

Число слагаемых в последнем выражении ограничено, так как сигнал является медленно изменяющимся воздействием. Для нахождения неизвестных коэффициентов , которые называются коэффициентами ошибки, известны три способа.

1)

2) Вторым способом коэффициенты ошибок находятся путём деления числителя передаточной функции ошибки на её знаменатель.

3) Для реализации третьего способа представим передаточную функцию ошибки в виде:

.

Перемножив полином знаменателя на (6.1), получим:

(6.3)

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа в выражении (6.3), определим формулы для последовательного вычисления коэффициентов ошибок:

В инженерных расчётах коэффициенты ошибок удобнее рассчитывать через коэффициенты передаточной функции разомкнутой системы:

, (6.4)

где - порядок астатизма системы.

Таблица с формулами расчёта первых трёх коэффициентов ошибок статических и астатических систем радиоавтоматики через параметры передаточной функции

		Формулы для расчёта

Первое слагаемое в выражении (6.2) называют ошибкой по положению, а коэффициент -коэффициентом ошибки по положению, второе слагаемое – ошибкой по скорости, а коэффициент - коэффициентом ошибки по скорости. Аналогично, третье слагаемое в (6.2) называют ошибкой по ускорению, а коэффициент - коэффициентом ошибки по ускорению.

В астатических системах первых коэффициентов ошибок равны нулю, где - порядок астатизма системы радиоавтоматики.

При анализе качества работы систем радиоавтоматики помимо вычисления ошибок при медленно изменяющихся сигналах приходится оценивать точность и при гармонических воздействиях. В этом случае нельзя применять метод коэффициентов ошибок, так как число производных от гармонического сигнала не ограничено. При этом для расчёта ошибок необходимо использовать частотные характеристики. По амплитудно-частотной характеристике ошибки вычисляется амплитуда колебаний ошибки, по фазочастотной характеристике – сдвиг колебаний ошибки относительно входного сигнала.

Пример 6.1. Найти динамическую ошибку при входном сигнале следящей системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии

.

Преобразуем .

Коэффициент астатизма .Тогда ,

,

.

Подставим данные в выражение (2), получим:

Вывод. При увеличении коэффициента усиления системы и введении форсирующего звена ошибка уменьшается, увеличение же постоянных времени инерционных звеньев ухудшает динамическую ошибку системы.

7. Анализ случайных процессов в САУ в установившихся режимах

7.1 Cуммарная ошибка системы

В большинстве случаев закон распределения ошибки системы можно считать гауссовским, поэтому для расчёта составляющих суммарной средней квадратической ошибки достаточно учесть математическое ожидание и корреляционную функцию ошибки или её спектральную плотность.

На вход системы подаётся воздействие вида:

,

где

- случайный сигнал; - случайная помеха.

- cуммарная ошибка системы, где - выходной сигнал системы.

Рис. 7.1. К определению суммарной ошибки

На приведённом рисунке круг означает сумматор, а сектор круга со знаком минус означает операцию вычитания.

Преобразование Лапласа для суммарной ошибки:

(7.1)

Вывод. Суммарная ошибка состоит из двух составляющих, одна из которых, определяющая точность воспроизведения сигнала, зависит от передаточной функции ошибки, вторая, обусловленная действием помехи, - от передаточной функции замкнутой системы.

Предположим, что сигнал и помеха являются стационарными случайными функциями. Тогда математическое ожидание помехи , а случайный сигнал представим в виде:

,

где

- математическое ожидание сигнала; - случайная составляющая сигнала.

Математическое ожидание суммарной ошибки рассчитывают по теореме о конечном значении функции:

.

Точность системы относительно случайных составляющих сигнала и помехи оценивается дисперсией ошибки:

,

где

- дисперсия ошибки; - средняя квадратическая ошибка системы, - математическое ожидание от квадрата ошибки; - автокорреляционная функция ошибки.

(7.2)

Первое слагаемое в (7.2) определяет среднюю квадратическую ошибку воспроизведения сигнала .Второе слагаемое в (7.2) характеризует ошибку вследствие действия помехи . Последние два слагаемых в (7.2) – составляющие ошибки из-за корреляции сигнала с помехой и помехи с сигналом.

Величину

называют cуммарной средней квадратической ошибкой системы радиоавтоматики.

Дисперсия ошибки может быть вычислена через её спектральную плотность:

, (7.3)

где - спектральная плотность сигнала.

Интеграл (7.3) удобно представить в виде:

,

где

- полином, содержащий чётные степени ,

- полином, корни которого лежат в верхней полуплоскости комплексной переменной ,

- cтепень полинома .

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Пример 7.1.Найти дисперсию ошибки, если передаточная функция звена , а спектральная плотность входного воздействия .

Найдём передаточную функцию замкнутой системы:

.

Cделаем замену на . Тогда передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид:

При подстановке этого выражения в формулу для получим:

.

Пример 7.2. Найти дисперсию ошибки, если передаточная функция звена , а спектральная плотность входного воздействия .

Найдём передаточную функцию замкнутой системы:

,

,

Перепишем подинтегральное выражение в виде (7.3). Для этого сделаем следующее преобразование:

.

В данном случае . Тогда . Cледовательно,

7.2 Эффективная полоса пропускания системы

На практике часто встречаются случаи, когда помеху можно считать белым шумом, спектральная плотность которого в пределах полосы пропускания системы радиоавтоматики постоянна.

Дисперсия ошибки системы из-за действия помехи:

Эффективной полосой пропускания системы называется величина:

,

Пример 7.3. Передаточная функция разомкнутой системы . Рассчитать эффективную полосу пропускания системы.

Найдём передаточную функцию замкнутой системы:

Cделаем замену: . Тогда получим:

7.3 Оптимизация параметров радиотехнической следящей системы

Цель оптимизации – выбор параметров системы, при котором минимизируется результирующая ошибка слежения, вызванная как искажением задающего воздействия при его прохождении через систему, так и действием шума на выходе дискриминатора. Решаемые при этом задачи оптимизации параметров системы отличаются не только структурой рассматриваемых систем, но и описанием действующих на систему возмущений, критериями, по которым ведётся оптимизация, наличием дополнительных требований и ограничений. Охватить все возможные варианты таких задач весьма затруднительно. Поэтому рассмотрим несколько характерных случаев:

1) воздействие - детерминированная функция, возмущение - флюктуационный процесс;

2) воздействие и возмущение являются случайными процессами.

Если в установившемся режиме математическое ожидание ошибки слежения , вызванное детерминированным воздействием , постоянно и отлично от нуля, то в качестве критерия оптимизации может применяться условие минимума установившегося значения среднего квадрата ошибки:

(7.4)

Также в качестве критерия оптимизации может использоваться требование минимизации дисперсии ошибки слежения при ограничении максимального значения составляющей ошибки, вызванной воздействием :

где - максимально допустимое значение ошибки, выбираемое так, чтобы ошибка не выходила за пределы дискриминационной характеристики и не возникал срыв сопровождения.

В тех случаях, когда изменение параметра , за которым идёт слежение, описывается стационарным случайным процессом с нулевым математическим ожиданием, критерием оптимизации параметров системы может служить минимум дисперсии суммарной ошибки слежения, вызванной как искажением процесса , так и действием флюктуационного напряжения :

8. Нелинейные режимы работы САУ и методы их анализа

8.1 Особенности нелинейных систем

Работа в нелинейном режиме может быть вызвана выходом ошибки слежения за пределы линейного участка характеристики дискриминатора, наличием в системе ограничителей и других нелинейных элементов.

При больших отклонениях сигналов от установившихся значений приходится учитывать нелинейные свойства элементов систем радиоавтоматики, допускающих линеаризацию.

При составлении дифференциальных уравнений нелинейных систем радиоавтоматики сначала составляют дифференциальные уравнения для каждого устройства системы. При этом характеристики устройств, допускающих линеаризацию, линеаризуются. В результате получают систему дифференциальных уравнений, в которой одно или несколько уравнений нелинейные. Устройства, допускающие линеаризацию, образуют линейную часть системы радиоавтоматики, а устройства, которые не могут быть линеаризированы, составляют нелинейную часть.

Во многих системах радиоавтоматики нелинейные устройства можно представить как статические, зависимость выходного сигнала от входного в которых описывается линейной зависимостью вида .

Встречаются случаи, когда линейные устройства описываются дифференциальными уравнениями вида

Характерной особенностью нелинейных систем является возможность возникновения в них автоколебаний.

Рассмотрим основные методы анализа нелинейных систем автоматики:

1) метод фазовой плоскости;

2) метод кусочно-линейной аппроксимации;

3) метод гармонической линеаризации;

4) метод статистической линеаризации;

5) метод моделирования.

8.2 Метод фазовой плоскости

В ряде случаев поведение следящей системы описывается нелинейным дифференциальным уравнением 2-го порядка:

(8.1)

Обозначив , уравнение (8.1) можно заменить системой уравнений 1-го порядка:

(8.2)

Cостояние системы, описываемой уравнениями (8.2), определяется в каждый момент времени величиной координаты и скоростью её изменения. Это состояние системы можно отобразить точкой на плоскости с координатами , , называемой фазовой плоскостью. При изменении состояния системы изображающая точка перемещается на фазовой плоскости по кривым, которые называют фазовыми траекториями. Cовокупность фазовых траекторий, построенных для различных начальных условий, определяет все возможные процессы в системе и служит наглядным изображением её динамических свойств.

Для получения уравнения фазовых траекторий исключим из (8.2) время, поделив второе уравнение на первое:

(8.3)

Интегрирование нелинейного дифференциального уравнения (8.3) позволяет найти уравнение фазовой траектории:

. (8.4)

8.3 Методы кусочно-линейной аппроксимации и гармонической линеаризации

8.3.1.Метод кусочно-линейной аппроксимации

Используется в том случае, когда нелинейная часть системы безынерционна и её характеристика может быть аппроксимирована прямолинейными участками.

Для каждого участка процессы в системе описываются линейными дифференциальными уравнениями, решение которых может быть найдено. Значения переменных в конце данного участка являются начальными условиями для последующего участка. Таким образом удаётся построить фазовую траекторию движения системы.

8.3.2.Метод гармонической линеаризации

Этот метод базируется на замене нелинейного элемента линейным звеном, параметры которого определяются при синусоидальном входном сигнале из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Данный метод может быть использован в том случае, когда линейная часть системы является низкочастотным фильтром, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного звена гармонические составляющие, кроме первой гармоники.

Пусть нелинейное звено является статическим. На вход звена действует сигнал:

На выходе этого звена действует сигнал:

Разложив его в ряд Фурье, получим:

, (8.5)

где - cлагаемое, учитывающее вторые и более высокие гармонические составляющие.

Коэффициенты ряда Фурье имеют вид:

(8.6)

Так как , где , то (8.5) можно записать в виде:

. (8.7)

Это выражение называют уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты и - коэффициентами гармонической линеаризации.

Представляется возможным сделать следующий вывод:

При постоянных значениях амплитуды входного сигнала коэффициенты гармонической линеаризации являются постоянными. Различным амплитудам входного сигнала соответствуют различные коэффициенты гармонической линеаризации. В обычной линеаризации коэффициенты не зависят от амплитуды входного сигнала, а определяются только видом характеристики нелинейного звена.

Уравнение гармонической линеаризации (8.7) – это линейное уравнение, поэтому и вся система радиоавтоматики становится линейной. Для её исследования могут быть использованы методы, разработанные для линейных систем. Зависимость коэффициентов гармонической линеаризации от амплитуды сигнала на входе нелинейного звена позволяет выявить специфические свойства нелинейных систем, которые не могут быть определены при использовании обычной линеаризации.

8.3.3.Характеристика с ограничением

Определим коэффициент гармонической линеаризации для нелинейной характеристики, анализ которой позволяет установить некоторые важные для практики положения.

По формулам (8.6) получим:

,

где - значение аргумента, при котором наступает ограничение

В этом случае:

Рис. 8.1. К определению коэффициентов гармонической линеаризации

Представляется возможным сделать вывод, что для однозначных нелинейных характеристик коэффициент гармонической линеаризации и уравнение гармонической линеаризации имеет вид

8.4 Методы статистической линеаризации и моделирования

Метод статистической линеаризации является приближённым и применим для систем произвольного порядка. Он основан на замене нелинейного элемента линейным звеном, коэффициенты передачи которого по математическому ожиданию и случайной составляющей сигнала определяются из условия статистической эквивалентности нелинейного звена линейному звену.

- нелинейная зависимость,

Дата добавления: 2015-04-29