Многокритериальное оптимальное планирование

Большинство задач планирования в реальных организационных системах носит многокритериальный характер и может быть представлено задачей многокритериального линейного программирования в виде:

, ; (5.20)

(5.21)

(5.22)

, ; (5.23)

, , ; (5.24)

, , (5.25)

где f_l – частный критерий оптимальности;

L – количество частных критериев оптимальности;

– коэффициенты частного критерия оптимальности , ;

b_j – запасы j -го вида ресурса, предназначенного для выполнения оптимального плана, ;

a_ij - расход j -ого ресурса на выпуск единицы i -го вида продукта.

С методами решения детерминированных задач многокритериальной оптимизации, определяемых условиями (5.20) – (5.22), можно ознакомиться в [14].

Графическое представление задачи многокритериального линейного программирования показано на рис. 5.8.

Рис. 5.8

Методика определения решений многокритериальной задачи оптимизации в условиях неопределенности (5.20) – (5.25) представлена в [14].

Для иллюстрации определения области решений напомним о некоторых определениях, данных в [14], и рассмотрим практический пример.

Определение 1.

Из двух точек точка называется доминирующей по отношению к (), если для всех выполняется и, кроме того, по крайней мере, для одного j .

Определение 2.

Точка называется улучшаемой, если существует хотя бы одна точка , такая, что , и хотя бы для одного j: , в противном случае точка не улучшаемая или эффективная.

Определение 3.

Множество S ₁, состоящее из эффективных точек, называется множеством решений, оптимальных по Парето.

Для определения области Парето необходимо использовать следующее правило [14]:

если все вектора, указывающие направления улучшения критериев (направление улучшения критерия совпадает с направлением градиента функции , если , и с направлением антиградиента функции , если ) принадлежат открытой полуплоскости, проведенной через начало координат в системе координат (с₁, с₂), то решением многокритериальной задачи оптимизации (5.20) – (5.22) является область Парето, представляющая часть границы допустимой области решений, в противном случае областью решений многокритериальной задачи будет вся допустимая область.

Пример 3.

Банк имеет возможность инвестировать финансовые ресурсы в размере 10 млн долларов в два проекта. При инвестировании в первый проект прибыль составляет 30% годовых, при инвестировании во второй проект - 35% годовых. Потери от риска при вложении в первый проект составляют 6% годовых, во второй проект – 6,5% годовых. Какое количество финансовых средств банк должен вложить в первый и во второй проекты, чтобы получить максимальную прибыль и обеспечить минимальные потери от риска?

f ₁ = 0,3 x ₁ + 0,35 x₂ ®max;

f₂ = 0,06 x ₁ + 0,065 x₂ ® min;

x ₁ + x ₂ £ 10;

x ₁ > 0; х ₂ > 0.

Рис. 5.9

Решением задачи по критерию f₁® max является точка А, решением задачи по критерию f₂® minявляется точка С. Решением двукритериальной задачи будет отрезок прямой АС, представляющий собой множество Парето.

Определение устойчивости оптимальных плановых решений при использовании детерминированной модели многокритериального линейного программирования вида (5.20) – (5.22) при интервальной неопределенности параметров может быть проведено с использованием методов, указанных в [14].

Дата добавления: 2015-04-29