Функция надежности и функция отказа. Интенсивность отказа

БИЛЕТ № 17.

Функция надежности или вероятность безотказной работы объекта p(t) определяется как - вероятность того, что объект будет работать безотказно в течение времени t. Функция надежности определена при t 0.

Чтобы отличать функцию надежности от вероятности договоримся, что запись p(...) будет обозначать функцию надежности, а запись Р{...} - вероятность.

Свойства функции надежности:

1. р(t) - убывающая функция.

2. р(0)=1, .

3. .

Функция отказа объекта q(t) в теории надежности определяется как - вероятность того, что за время t произойдет отказ объекта.

Функцию отказа легко выразить через функцию надежности g(t)=1-p(t).

Свойства функции отказа:

1. q(t) - возрастающая функция.

2. q(0)=1, .

3. .

Типичный график функции надежности изображен на рисунке 2.1. Типичный график функции отказа - на рисунке 2.2.

Рис. 2.1. Функция надежности. Рис. 2.2. Функция отказа.

Функция надежности р(t) как количественная характеристика надежности обладает следующими достоинствами:

1) характеризует изменение надежности во времени;

2) дает возможность достаточно наглядно судить о надежности;

3) может быть использование для расчета надежности систем при их проектировании.

Но функция надежности имеет также и существенные недостатки:

1) характеризует надежность только до первого отказа;

2) не всегда удобна для оценки надежности простых объектов;

3) по известной функции надежности довольно трудно вычислить другие количественные характеристики надежности.

Из-за этих недостатков для полной характеристики надежности нужны и другие количественные характеристики.

Интенсивностью отказов называется величина

.

Так как то

Выясним смысл интенсивности отказов.

Пусть объект проработал время t. Найдем условную вероятность того, что отказ произойдет до момента t+ t при условии, что до момента t отказа не было.

Введем события:

А={T t} - до момента t объект оставался работоспособным,

В={T t+ t} - отказ произошел до момента t+ t.

Тогда P{B|A}= P{AB}/P{A}.

Но P{A}=P{T t}=p(t);

P{AB}=P{t T t+ t}= .

Тогда

Итак, смысл интенсивности отказов: при малых t P{T t+ t|T t} .

Зная интенсивность отказов, можно определить функцию надежности. Для этого возьмем первообразные от обеих частей равенства

.

Получаем где С - некоторая константа. Так как при t=0 и ln (p(0)) = ln 1=0, то и С=0. Итак, . Отсюда .

Теперь несложно выразить через интенсивность и среднюю наработку

.

Частота отказов и интенсивность отказов связаны между собой зависимостью

Определим размерность (t): p(t)=P{T t} - как вероятность, является безразмерной величиной;

имеет размерность, обратную размерности t.

Такую же размерность, обратную единицам времени, имеет и интенсивность отказов (t). Обычная единица измерения интенсивности отказов - (час ).

Типичная зависимость интенсивности от времени показано на рисунке

На графике можно выделить три характерных участка.

На первом участке от 0 до t₁ интенсивность отказов падает. Это так называемый период приработки. При статистических испытаниях в этом периоде характерны ранние отказы вследствие дефектов материала или производственных дефектов. В демографии этот отрезок кривой называется периодом "детской смертности".

На втором участке от t₁ до t₂ интенсивность отказов примерно постоянна. Этот участок называется периодом нормальной эксплуатации. Отказы, появляющиеся в этом периоде называются внезапными. Они вызываются тяжелыми условиями работы, неожиданным изменениям условий эксплуатации и т.п. Можно провести аналогию между отказами этого периода и несчастными случаями, происходящими с людьми ежедневно.

На третьем участке после момента t₂ интенсивность начинает возрастать. Этот участок называется периодом старения. Отказы этого периода называются износовыми.

Интенсивность отказов как количественная характеристика надежности имеет ряд достоинств. Она является функцией времени и позволяет установить характерные участки работы объекта. Если известны моменты t₁ и t₂, то можно разумно установить период опытной эксплуатации объекта до момента t₁ и окончание эксплуатации к моменту t₂. Недостаток тот же, что и у остальных показателей: интенсивность характеризует надежность объектов лишь до первого отказа.

Однако в силу своих положительных свойств интенсивность является наиболее удобной характеристикой надежности.

Дата добавления: 2015-04-30