Надежность восстанавливаемой дублированной системы

Рассмотрим систему, для обеспечения надежности которой используется дублирование: основной системе добавляется параллельно такая же система. В обеих системах (цепях) параметры потоков отказов одинаковы, , такая же картина и для потока восстановлений, то есть .

Такая дублированная система может находиться в трех состояниях:

"0" - обе системы (цепи) работоспособны;

"1" - одна цепь восстанавливается, другая работоспособна;

"2" - обе цепи восстанавливаются. С точки зрения выполнения функциональных задач, возложенных на систему, состояние "2" соответствует отказу. У этой системы возможны семь видов перехода из состояния в момент времени в состояние в момент времени :

Указанные переходы изображены на рис. 7.5 в виде графа переходов состояний.

Графу переходов соответствует матрица переходных вероятностей . Крайние элементы побочной диагонали матрицы имеют порядок , так как по исходному предположению поток отказов в системе простейший, и время восстановления распределено по экспоненциальному закону. Согласно простейшему потоку в первой строке матрицы исключается ситуация, когда за время система может перейти из состояния "0" в состояние "2":

Рассуждая аналогично, по третьей строке матрицы запишем:

При простейшем потоке система за время может из состояния "0" с вероятностью перейти в состояние "1" или с вероятностью остаться в состоянии "0". Точно такая же картина соответствует состоянию "2". С вероятностью система может перейти в состояние "1" (одна цепь восстановится) или с вероятностью останется пребывать в состоянии "2" (обе цепи неработоспособны – состояние отказа). Элементы первой строки матрицы переходных вероятностей зависят от режима использования резервной цепи. Так при нагруженном резерве, работающих обеих цепях, интенсивность потока отказов равна , а при ненагруженном – (ненагруженная цепь всегда готова к работе и своих характеристик не меняет, ). Поэтому:

(7.6)

где - коэффициент, учитывающий состояние резерва ( при ненагруженном режиме и при нагруженном).
Используя разложение степенной функции в ряд, с учетом приближения суммы отброшенных членов ряда к нулю, запишем:

(7.7)

С учетом того, что для первой строки матрицы

получим

(7.8)

Элементы второй строки матрицы переходных вероятностей (7.5) соответственно запишутся так:

(7.9)

(7.10)

(7.11)

Элементы третьей строки анализируемой матрицы, с учетом количества ремонтных бригад и многократного восстановления отказавших цепей, соответственно определятся так:

(7.12)

(7.13)

где - число ремонтных бригад ( или ).

При дублировании с восстановлением возможны шесть вариантов задач анализа надежности такой системы:

1) система с нагруженным резервом до первого отказа ();

2) система с ненагруженным резервом до первого отказа ();

3) многократно восстанавливаемая система с нагруженным резервом и одной ремонтной бригадой ();

4) многократно восстанавливаемая система с нагруженным резервом и двумя ремонтными бригадами ();

5) многократно восстанавливаемая система с ненагруженным резервом и двумя ремонтными бригадами ();

6) многократно восстанавливаемая система с ненагруженным резервом и одной ремонтной бригадой ().

Для определения , , необходимо составить и решить систему трех дифференциальных уравнений:

(7.14)

где – постоянные коэффициенты.

Для этого на основе свойств столбцов матрицы необходимо записать выражения формул полных вероятностей , , , затем записать производные для выражений вероятностей нахождения системы в состояниях "0", "1", "2" и свести их в систему уравнений:

(7.15)

Формулы полных вероятностей запишутся на основе матрицы (7.5) соответственно:

по первому столбцу:

по второму столбцу:

по третьему столбцу:

Подставив в эти выражения соответствующие значения переходных вероятностей, получим систему из трех дифференциальных уравнений (7.15) с четырьмя постоянными коэффициентами .

Определение искомых вероятностей пребывания системы в состояниях "0", "1" и "2" в момент времени t производится при следующих начальных условиях: ; ; , то есть система первоначально включается в работу с обоими исправными цепями.

Как решить систему (7.15) подробно изложено в специальной литературе, например в [13]. Искомое выражение функции готовности анализируемой системы при найденных значениях , , на основе известного свойства удобнее записать в виде:

Анализируемая система получается высоконадежной. Даже в нерезервированной восстанавливаемой системе при

при , и значение этой функции быстро приближается к коэффициенту готовности. В связи со сказанным, оценку надежности ответственных систем, рассчитанных на длительный срок эксплуатации, целесообразно производить с помощью коэффициента готовности.

Используя данные [13], запишем коэффициенты готовности дублированной системы с многократным восстановлением с одной () и двумя () ремонтными бригадами:

На рис. 7.6 представлены графики коэффициента готовности
для различных схем использования резерва и количества ремонтных бригад.

Из графика видно, что введение резервирования в восстанавливаемую систему дает существенное приращение надежности системы при относительно невысокой надежности основной цепи. К примеру, при заметен прирост надежности даже при введении второй ремонтной бригады (). Но по мере роста надежности исходных цепей эффект от введения второй бригады снижается, а при на графике уже невозможно увидеть различия значений коэффициента готовности не только при изменении количества ремонтных бригад, но и при переходе со схемы нагруженного дублирования к дублированию замещением. Так при отношение значения коэффициента готовности схемы дублированной замещением к значению коэффициента готовности схемы нагруженного дублирования, при одной ремонтной бригаде в обоих вариантах равно

Например, в высоковольтной электроустановке с показателями безотказности и ремонтопригодности , (), использование схемы нагруженного дублирования повышает надежность установки до , а при дублировании замещением до .

Таким образом, при относительно высоком уровне надежности исходной системы (схемы) выигрыш в надежности при переводе схемы с режима на режим ощутимого результата не дает. При эксплуатации, например двухтрансформаторной подстанции, когда средняя интенсивность отказов (параметр потока отказов) одной трансформаторной цепи , интенсивность восстановления () схема включения резервного трансформатора подстанции (нагруженное дублирование или дублирование замещением) должна определяться по фактическому значению потери мощности в трансформаторах, а не по уровню надежности. Как известно, потеря мощности в трансформаторе

где – потеря мощности в магнитной системе (в стали магнитопровода) трансформатора и от нагрузки не зависит; – потеря мощности в меди (алюминии) обмоток трансформатора и зависит от квадрата тока.

Выбирать необходимо такую схему включения трансформаторов, которая связана с меньшей потерей мощности. Если подстанция имеет в течение суток нагрузку то высокую, то низкую в четко выраженные интервалы времени, то возникает экономическая целесообразность часто изменять схему включения трансформаторов. Расчеты показывают, что в современных трансформаторах напряжением 35; 10.5; 6.3 кВ и мощностью до 10 тыс. кВА, при нагрузке подстанции, превышающей 0.7 мощности одного трансформатора, экономически выгодно переходить на схему нагруженного дублирования (режим у = 1). Для обеспечения такого режима работы подстанции необходимы циклостойкие выключатели (например, вакуумные), способные переключаться под рабочей нагрузкой тысячи раз. Это особенно характерно для подстанций, где преобладает коммунально-бытовая нагрузка, при которой ярко выражены часы максимальной нагрузки (обычно с 7.00 до 9.00 и с 18.00 до 21.00 часа местного времени). В оставшееся время суток нагрузка многократно снижается, и тогда выгодно включать только один трансформатор (режим у = 0). В связи с этим следует отметить, что в установках, где часто меняется нагрузка в широком диапазоне особо эффективны будут тиристорные выключатели рабочих токов, у которых нет технических ограничений по количеству операций (циклов) "включить" – "отключить".

Такие высоковольтные восстанавливаемые дублированные установки, как кабельные линии и воздушные линии электропередачи должны работать по схеме нагруженного дублирования. При этом, как это было показано выше, достигается экономический эффект от снижения потери энергии, и сохраняется высокая надежность электропередачи.

Дата добавления: 2015-04-30