Определение доверительных интервалов. Определения численных характеристик для износовых отказов

Определения численных характеристик для износовых отказов.

Подчиняется нормальному закону распределения и характеризуется двумя параметрами:

Долговечность Т_ср

Среднеквадратичное отношение σ

Такие испытания проводятся для небольших партий элементов, но до отказа всех или почти всех из них.

Параметры определяются

n Тср^*= ∑ ti/r i=1

(3.18)

n σ^*= √ ∑ (ti-Tcp^*)^2/r i=1

(3.19)

Если во время испытаний произошел внезапный отказ, элемент этот из рассмотрения исключаются и не какие даны о нем в последствии не используются. Такие испытания проводятся при нагрузках и внешних условиях, возможно более близких к реальным. В противном случае результаты неточны.

Повышение температуры приводит к понижению Т_ср^* и повышению σ^*

Ранее мы получали оценки, которые являются точечными и не являются абсолютно точечными. Истинное значение может быть как меньше так и больше точечных оценок.

Поэтому правильнее было бы узнать интервал, в пределах которого заключено истинное значение. Совершенно очевидно, что как бы широк этот интервал не был (в разумных пределах) утверждать со 100 % вероятностью, что истинное значение заключается в нем утверждать нельзя. Можно говорить об этом с той или иной долей вероятности.

Например: с вероятность 0,9 можно утверждать, что продолжительность жизни человека находится в интервале между 65 и 75 годами, а с вероятностью 0,99 между 50 и 80 годами

Рассмотрим способы определения доверительных интервалов и критерий доверия, то есть вероятность того, что рассмотренный параметры заключен в указанных параметрах.

Если из совокупности N взять несколько выборок. n₁,n₂,…n_k, и для каждой выборки определить Т_ср1,Т_ср2,…Т_срк, то все они будут разными.

Причем отклонения от Т_ср будут распределены нормальным законом.

Параметры закона по статистической совокупности определяется по следующим формулам.

n Тср^*=∑ ti/n i=1

(3.20)

n S^* =√∑(ti-Tcp) / n-1 i=1

(3.31)

где

S^* несмешанная оценка

n

Стандартное отклонение σ = √ ∑(t_i-T_cp)² / n

i=1

Получаемое значение из ряда выработок:

σ (Тср) = σ^*/√n

(3.32)

где

n число отказов

Приведенные выражения позволяют непосредственно определить доверительный интервал. Для этого необходимо знать Т_ср и σ.

При числе отказов от 20-30 принять что Т_ср = Т_ср^*, σ = S^*

Если мы зададимся доверительной вертикалью, то есть площадью под кривой, то можем определить доверительный интервал. И наоборот, задавшись шириной интервала, можно определить коэффициент доверия.

Установлено, что доверительной интервал будет минимальный, если площадь под кривой плотности распределения U(t) в интервале (-∞; -2σ ][2σ;+∞) будет равны

И если обозначить максимальное отклонение через Е то ширина интервала будет равна Т_ср± ε, а критерий доверия Р(Т_ср – ε ≤Т_ср≤ Т_ср+ε) =1-α

Р(Тср – ε ≤Тср≤ Тср+ε) =1-α

(3.23)

Вычисления критерия доверия, то есть вероятность взятой по обычной методике(по таблице интервала вероятности или функции Лапласа)

γ=1-σ = 2Фо [ε/ γ(Тср)] = 2Фо [(ε √n)/σ ] = 2Фо[(ε √n)/S] =2Фо(Z)

(3.24)

Данная задача может решаться в двух вариантах

При первом варианте по выработанному значению γ вычисляется значение функции интервала вероятности, а вычисляется ε.

Е = Z^*S^*/√n

(3,25)

Z = (E√n)/s^*

Пример

В результате приведенных испытаний по лучшему значения t_i безотказной работы для комплекса аппаратуры.

n

Т_ср = ∑t_i/n, T_cp = 2000 часов

i=1

n

S^* = [√∑(t_i – T_cp)²/(n-1)]- S^* = 340 часов

γ = 0,9 принимаем критерия доверия.

По таблице находим что 2Ф_о(z) =0,9 z=1.64

Зная аргумент функции z определяем доверительный интервал.

ε = 1,64*340/√16 = 140

1860<T_cp<2140 часов с вероятностью 0,9

Пример

Определить коэффициент доверия при заданном интервале

примем доверительный интервал 50 часов ε = 50часов

по таблице находим Ф_о(0,59) = 0,22

γ = 2Ф_о(0,59)= 0,44

Данный метод может использовать, когда много данных об отказах и отказы постепенные и имеют нормальны закон распределения.

И случае экспоненциального закона или при малых количествах отказов пользуясь этой методикой, так как в этом случае Тср≠Тср, а σ≠S*

рассмотрим случаи, когда отказы распределения по нормальному закону, но число данных об отказах мало: в этом случае вводится ещё одна случайная велечена

t = Tcp^*-Tcp / S^*	(3.26)
n σ^*(Tcp) = σ^*/√n = S^* =[√∑(ti – Tcp)^2]/ n(n-1)	(3.27)

Случайная величена t подчиняется закону распределения Стьюдента. Особенность этого закона заключается в том, что он не зависит от σ, Т_ср, а зависит от n

Зададимся доверительным коэффициентом t_α и найдем коэффициент доверия. коэффициент доверия вероятность того что искомое значение будет находится в интервале от -t_α до t_α ([-t_α; t_α]) пользуясь распределением Стьюдента можно записать что:

tα tα γ = P{- tα ≤ t ≤ tα} = ∫ Sn(t)dt= α ∫ Sn(t)dt -tα 0

(3.28)

t_α

γ = P{-t_αS^*≤T_cp^*-T- T≤ t_αS^*} = 2 ∫ Sn(t)td

t_α = ε / S^* = T_cp^* -T_cp / S^*

Затем по таблице значений Стьюдента в зависимости от tα, n можно найти коэффициент доверия γ или наоборот в зависимости от выбранного значения γнайти значение Е

ε = tαS^*

(3.29)

В соответствии сданными предыдущего примера.

n

S^* =√[∑(t_i – T_cp)²/n(n-1)]; S^* = 85

i=1

Примем γ = 0,9. тогда при n = 16 из таблицы распределения Стьюдента t_α = 1,75

В соответствии с формулой 3.29 ε= 1,75 * 85 = 149

Данный способ может использоваться при любом значении распределения отказов.

Рассмотрим определенный доверительный интервал для Т_ср при экспоненциальном законе распределения при плане испытаний [N,Б,r] без замены элементов из математики известно, что величина.

U = 2Sб® λ = 2Sб® / T_cp

Из математики известно, что U распределена по закону с 2r степеней свободы.

Распределения χ² имеет вид

n SБ ® = ∑ti +(N-r)tr i=1

(3.30)

Вероятность того что U а пределах от χ²₁ до χ²₂ равно площади под кривой плотности распределения f_2r(U) и ограниченная значением χ²₁, χ²₂

χ²₂ ∞ ∞

γ = P{ χ²₁ ≤ U ≤ χ²₂ } = ∫ f_2r (U) dU = ∫ f_2r(U) dU-∫f_2r(U)dU

χ²₁ χ²₁ χ²₂

∞

Интервал ∫f2r(U)dU – табулирован

χ²₂

Точка образа зависимости λ_n,λ_в, вычисляется значением χ²₁ и χ²₂ по таблице определения коэффициента доверия.

γ→ λ_n,λ_в

Установлено что доверительный интервал будет минимальный если площадь под кривой f_2r(U) в интервалах [ 0, χ²₁],[ χ²₂;∞)

Тогда абсцисса χ²₁, χ²₂ соответствует ограничении площади

0,5(1+γ); 0,5 (1-γ)

Последовательность определения доверительного интервала сводится задавшись коэффициентом доверия γ, определить значения 0.5(1+γ); 0.5 (1-γ) и зная число степеней свободы 2r по таблице χ² ² распределения находим значение χ²₁ и χ²₂. А зная λn,λв могут быть найдены и следующие неравенства.

χ^22 (2r) ≤ 2SБ(U) ≤ Λ2 χ^22 (2r)

(3.31)

Заменив ≤ на = можно записать

λn = χ^21 (2r) / 2SБ(U)

(3.32)

λв = χ^22 (2r) / 2SБ(U)

(3.33)

Т_ов = 1/λ_n; Т_он = 1/ λ_в наработка на отказ

Дата добавления: 2015-04-30