Элементы комбинаторики в теории надежности

В теории вероятностей часто используют размещения, перестановки и сочетания. Если дано множество M = { w ₁, w ₂, …, w_n }, то размещением (сочетанием) из n элементов по k называется любое упорядоченное (неупорядоченное) подмножество k элементов множества M. При k = n размещение называется перестановкой из n элементов.

Пусть, например, дано множество { w ₁, w ₂, w ₃}. Размещениями из трех элементов этого множества по два являются { w ₁, w ₂}, { w ₁, w ₃}, { w ₂, w ₁}, { w ₂, w ₃}, { w ₃, w ₁}, { w ₃, w ₂}; сочетаниями — { w ₁, w ₂}, { w ₁, w ₃}, { w ₂, w ₃}.

Два сочетания различаются хотя бы одним элементом, а размещения различаются либо самими элементами, либо порядком их следования. Число сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле

,

где есть число размещений из n элементов по k; P_k = k! — число перестановок из k элементов.

Пример 4.19. В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 6 деталей ровно 4 стандартных.

Решение. Общее число возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. Е. равно C ⁶₁₀ — числу сочетаний из 10 элементов по 6. Число исходов, благоприятствующих событию A (среди 6 взятых деталей ровно 4 стандартных), определяем так: 4 стандартные детали можно взять из 7 стандартных деталей C ⁴₇ способами; при этом остальные 6 – 4 = 2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 – 7 = 3 нестандартных деталей можно C ²₃ способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно C ⁴₇ C ²₃. Исходная вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех исходов:

.

Вопросы для самоконтроля.

1. Понятие события. Классификация событий. Определение вероятности случайного события.

2. Теорема сложения вероятностей

3. Теорема умножения вероятностей.

4. Формула полной вероятности.

5. Определение ВБР при совместном появлении событий и сложных событий.

Дата добавления: 2015-04-30