Определение показателей безотказности

Любой анализ надежности системы должен основываться на точно определенных понятиях. Известно, что даже у одинаковых систем, работающих в аналогичных условиях, отказы происходят в случайные различные моменты времени, т.е. отказы могут быть описаны только в терминах теории вероятностей. Т.о., основные определения надежности основываются главным образом, на понятиях теории вероятности.

Вероятность безотказной работы P (t) – это такая функция времени, которая определяет вероятность того, что невосстанавливаемая система будет выполнять требуемую функцию в заданный момент времени t.

ВБР определяется в предположении, что в начальный момент времени (момент начала исчисления наработки) объект находился в работоспособном состоянии.

Ее можно записать в виде

, (5.1)

где N ₀ – число единиц одинакового оборудования, работающего в одинаковых условиях; n (t) – число отказов в контрольной группе.

Возникновение первого отказа – случайное событие, а наработка t от начального момента до возникновения этого события – случайная величина.

Наряду с понятием «вероятность безотказной работы» часто используют понятие «вероятность отказа», которое определяется следующим образом: это вероятность того, что объект откажет хотя бы один раз в течение заданной наработки, будучи работоспособным в начальный момент времени.

Вероятность отказа Q (t) – это вероятность того, что система выйдет из строя к моменту времени t. Она связана с вероятностью безотказной работы P (t) простым соотношением:

Q (t) + P (t) = 1. (5.2)

Тогда вероятность отказа

Q (t) = 1 – P (t).

Рис. 5.1. Графики вероятности безотказной работы и отказа

Таким образом, в простейшем случае, при определении вероятности отказа и вероятности безотказной работы к заданному моменту времени необходимо знать в качестве исходных данных число единиц оборудования в контрольной группе в начальный момент времени, а также количество вышедших из строя образцов.

Пример 5.1. На испытания поставлено N ₀ = 450 однотипных центробежных насосов. За время t = 10 часов отказало n (t) = 10 шт. Определить вероятность отказа и вероятность безотказной работы.

Вероятность безотказной работы

P (t) = (450 – 10)/450 = 0,978.

Вероятность отказа

Q (t) = 1 – 0,978 = 0,022.

Частота отказов. Вероятность безотказной работы Р (t) связана с функцией распределения F (t) и плотностью распределения f (t) наработки до отказа:

. (5.3)

Для дискретной случайной величины X, которая может принимать значения x ₁, x ₂,…, x_n, функция распределения имеет вид

, (5.4)

где неравенство x_i < x означает, что суммирование распространяется на все значения x_i, меньше x. Из этой формулы следует, что функция распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую ломаную линию (рис. 5.2). При каждом новом значении случайной величины ступень поднимается выше на величину, равную вероятности этого значения. Сумма всех скачков функции распределения равна единице.

Рис. 5.2. Вид функции распределения для дискретной величины

Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, график этой функции имеет форму плавной кривой (рис. 4.3).

Рис. 5.3. График функции распределения непрерывной величины

Смысл плотности распределения f (x) состоит в том, что она указывает на то, как часто случайная величина X появляется в некоторой окрестности точки x при повторении опытов.

Кривая, изображающая плотность распределения f (x) случайной величины, называется кривой распределения.

Если случайная величина t (наработка до отказа) имеет плотность распределения f (t), то вероятность безотказной работы:

. (5.5)

Иначе, другими словами, частота отказов или плотность вероятности отказов f (t) представляет собой отношение числа отказавших элементов (например, аппаратов) к числу первоначально установленных N ₀ за единицу времени D t.

. (5.6)

Физический смысл плотности распределения – вероятность попадания случайной величины в малый интервал числовой оси пропорциональна плотности распределения этой величины на данном интервале.

В начальный промежуток времени функция распределения растет быстро и соответственно плотность распределения велика. Это означает, что число отказов достаточно велико. По мере возрастания t скорость возрастания функции распределения (плотность распределения) уменьшается, т.е. число отказов уменьшается.

Вероятность отказа за t ₁ ¸ t ₂ равна площади под соответствующим участком кривой распределения.

Для общего случая, когда непрерывная случайная величина может иметь не только положительное, но и отрицательное значение, можем записать

Т.е., интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице, физически это выражение означает, что случайная величина примет какое-нибудь значение, лежащее в пределах от – ¥ до + ¥.

Интенсивность отказов. Наиболее употребительной в теории надежности является такая характеристика как интенсивность отказов, которая характеризует частоту появления отказов в этом интервале в некотором промежутке времени [ t ₁, t ₂].

. (5.7)

Т.е. является условной плотностью распределения вероятности исправной работы системы, вычисленной при условии, что к моменту t система была исправна.

Интенсивность отказов определяется вероятностью того, что в этом интервале произойдет отказ за единицу времени при условии, что отказ не произошел до момента времени t ₁, с которого начинается этот интервал. Таким образом, интенсивность отказов l(t) имеет вид

при условии, что [ t ₁, t ₂] = [ t, t + D t ]

Принимая, что интенсивность отказов l(t) выражает качественные изменения, происходящие в оборудовании во время его эксплуатации, выражение для определения интенсивности можно записать в следующем виде

, (5.8)

где n (D t) – число отказов за время D t; N _ср(t) – среднее число действующих в этот период времени аппаратов.

Для практического применения в определении различных показателей надежности и для целей прогнозирования величины ее показателей очень важно знать вид и характер функции интенсивности отказов l(t). Многолетние исследования в этом направлении показали, что качественный характер этой функции для инженерных расчетов имеет следующий вид (рис. 5.4).

Типичная функция интенсивности отказов может быть разделена на три периода.

Первый, сравнительно небольшой по времени период, где наблюдается сильное уменьшение интенсивности отказов – период приработки изделия.

Второй – характеризуется постоянным значением интенсивности отказов – период нормальной эксплуатации.

Третий, в течение которого интенсивность отказов постоянно увеличивается – период катастрофических износов (или закономерных постепенных отказов).

Рис. 5.4. Вид и характер функции интенсивности отказов

При решении практических на определение частоты и интенсивности по статистическим данным об отказахизделий ответы относятся к средине интервала D t. При этом результаты вчислений графически представляются не в виде гистограмм, а виде точек, отнесенных к средине интервалов D t_і и соединенных плавной кривой.

Схематически работу оборудования, когда количество отказов фиксируется к моменту времени t и по истечению некоторого промежутка D t, можно представить следующей схемой (рис. 5.5):

Рис. 5.5. Схема работы оборудования

На рис. 5.5: N ₀ – число единиц одинакового оборудования, работающего в одинаковых условиях; n (t) – число отказов в контрольной группе к моменту времени t; N_t – число единиц исправного оборудования к моменту времени t; n (D t) – число отказов за промежуток времени D t; N_{t+ D t} – число единиц исправного оборудования к моменту времени (t + D t).

Вероятность безотказной работы за время t

.

Вероятность безотказной работы за время D t

.

Вероятность безотказной работы за время

,

где – среднее количество изделий, отказавших в период времени (t + D t)

.

Частота отказов, с^-1

.

Интенсивность отказов, с^-1

,

где – среднее количество работающих изделий за период времени (t + D t)

.

Пример 5.2. На испытания поставлено N ₀ = 200 объектов, испытания проводились в течение t= 100 ч. Результаты испытаний сведены в таблицу. Построить кривую интенсивности отказов по результатам испытаний объекта.

Решение.

Результаты испытаний объекта (к примеру.)

№ п/п	Δ t, ч	n (D t)	N ср(t)	№ п/п	Δ t, ч	n (D t)	N ср(t)
	0 – 10				50 – 60
	10 – 20				60 – 70
	20 – 30				70 – 80
	30 – 40				80 – 90
	40 – 50				90 – 100

Обозначения: Δ t – интервал испытаний; n (D t) – число отказов; N _ср(t) – число неотказавших элементов на этот период времени.

Для построения кривой вычислим интенсивность отказов λ(t) _i ч ^{– 1} по формуле (4.8):

l(t ₁) = 10/(10×190) = 0,0052; l(t ₆) = 2/(10×168) = 0,0011;

l(t ₂) = 8/(10×182) = 0,0044; l(t ₇) = 2/(10×166) = 0,0012;

l(t ₃) = 6/(10×176) = 0,0034; l(t ₈) = 4/(10×162) = 0,0024;

l(t ₄) = 4/(10×172) = 0,0023; l(t ₉) = 5/(10×157) = 0,0032;

l(t ₅) = 2/(10×170) = 0,0011; l(t ₁₀) = 8/(10×149) = 0,0053.

λ(t)10^-3, ч^-1

t, ч

Рис. Кривая интенсивности отказов во времени

Пример 5.3. На испытания поставлено N ₀ = 1000 однотипных ламп. За первое время t = 3000 ч отказало n (t) = 80 ламп, а за интервал времени 3000 – 4000 ч отказало еще 50 ламп. Определить частоту и интенсивность отказов электронных ламп в промежутке времени 3000 – 4000 часов.

Решение. Частота отказов, ч^-1

=50/(1000×1000) = 5 × 10 ^{– 5}

Интенсивность отказов, ч^-1

,

Пример 5.4. На испытания поставлено N ₀ = 400 однотипных изделий. За первое время t = 3000 ч отказало n (t) = 200 изделий. За время D t = 100 ч отказало n (D t) = 100 изделий. Определить Р (3000), Р (3050), Р (3100), f (3050) и l(3050).

Решение. Находим вероятность безотказной работы для трех промежутков времени:

для t = 3000 ч (начало интервала)

;

для t = 3100 ч (конец интервала)

.

Определим среднее число исправно работающих образцов в интервале D t

Среднее число отказавших изделий за время 3050 ч:

n (3050) = N ₀ – N _ср = 400 – 150 = 250.

.

Частота отказов, ч^-1

=100/(400×100) = 2,5 × 10 ^{– 3}

Интенсивность отказов, ч^-1

,

Пример 5.5. На испытания поставлено N ₀ = 150 однотипных подшипниковых узлов перемешивающих устройств. За первое время t = 2500 ч отказало n (t) = 32 шт. За время D t = 150 ч отказало n (D t) = 10 шт. Определить вероятность безотказной работы за время t, (t + D t) и , а также частоту и интенсивность отказов узлов в промежутке времени от t до (t + D t) часов.

Решение.

Вероятность безотказной работы за время t

.

Вероятность безотказной работы за время D t

.

Вероятность безотказной работы за время

Среднее количество изделий, отказавших в период времени (t + D t)

.

= 32 + ½ 10 = 37

.

Частота отказов, с^-1

=32/(150×150) = 0,0014

Интенсивность отказов, с^-1

,

= 150 – (32 + ½ 10) = 133.

.

Пример 5.6. На испытаниях находилось N ₀ = 1500 образцов неремонтируемой аппаратуры. Число отказов n (D t) фиксировалось через каждые D t = 150 ч работы. Определить характеристики надежности и построить зависимость характеристик от времени: Р (t), f (t), l(t).

Решение. Сведем результаты расчетов Р (t), f (t), l(t) в таблицу:

	D ti, ч	n (D t) i	Р (t) i	f (t) i, 1/ч	l(t) i, 1/ч
			0,941	0,0004	0,000426
			0,902	0,00025	0,000281
			0,877	0,00016	0,000187
			0,856	0,00014	0,000166
			0,837	0,00013	0,000154
			0,817	0,00013	0,000158
			0,799	0,00012	0,00015
			0,781	0,00012	0,000154
			0,764	0,00011	0,000151
			0,746	0,00012	0,000161
			0,728	0,00011	0,000159
			0,712	0,00011	0,000156
			0,692	0,00013	0,000193
			0,662	0,0002	0,000302
			0,615	0,00031	0,000506

Наглядное представление о законах распределения дают статистические графики, наиболее распространенными из которых являются: полигон, гистограмма, статистическая функция распределения.

Тип функции распределения при анализе экспериментальных данных обычно устанавливают по внешнему виду гистограммы, построенной на небольших интервалах изменения случайной величины, или по аппроксимирующей кривой

Гистограмма позволяет оценить состояние качества. Гистограмма представляет собой столбчатый график, построенный по полученным за определенный период (час, неделю, месяц) данным, которые разбиваются на несколько интервалов. Число данных, попавших в каждый из интервалов (частота), выражается высотой столбика.

Высота каждого столбца указывает на частоту появления значений параметров в выбранном диапазоне, а количество столбцов – на число выбранных диапазонов.

Важное преимущество гистограммы заключается в том, что она позволяет наглядно представить тенденции изменения измеряемых параметров качества объекта и зрительно оценить закон их распределения. Кроме того, гистограмма дает возможность быстро определить центр, разброс и форму распределения случайной величины. Строится гистограмма, как правило, для интервального изменения значений измеряемого параметра.

Порядок построения гистограммы следующий:

1. Собираются статистические данные – результаты измерений параметра объекта. Для того, чтобы гистограмма позволяла оценить вид распределения случайной величины предпочтительно иметь не менее тридцати результатов измерений.

2. Выявляется наибольшее и наименьшее значение показателя среди полученных результатов измерений.

3. Определяется ширина диапазона значений показателя – из наибольшего значения показателя вычитается наименьшее значение.

4. Выбирается надлежащее число интервалов, в пределах которых необходимо сгруппировать результаты измерений.

5. Устанавливаются границы интервалов. Границы интервалов необходимо установить так, чтобы значения данных не попадали ни на одну из границ интервала. Например, если были выбраны интервалы с границами от 0,5 до 5,5 от 5,5 до 10,5 и т.д. то значение данных 5,5 будет попадать как в первый, так и во второй интервал. Чтобы избежать этой проблемы можно изменить интервалы от 0,51 до 5,50 от 5,51 до 10,50 и так далее, таким образом ни одно значение данных не попадет на границу интервала.

6. Подсчитывается число попаданий значений результатов измерений в каждый из интервалов.

7. Строится гистограмма – на оси абсцисс (горизонтальной оси) отмечаются интервалы, а на оси ординат (вертикальной оси) отмечается частота попаданий результатов измерений в каждый интервал. Интервалы можно устанавливать в натуральных единицах (если позволяет масштаб), т.е. в тех единицах, в которых проводились измерения, либо каждому интервалу можно присвоить порядковый номер и отмечать на оси абсцисс номера интервалов. В результате получается столбчатая диаграмма:

Если на контролируемый параметр существует поле допуска, то гистограмма может содержать верхнюю и нижнюю границы поля допуска. Это позволяет увидеть в какую сторону и как смещается значение контролируемого показателя относительно поля допуска. Границы наносятся по оси абсцисс.

Гистограмма, представленная на рис. 5.6 имеет форму нормального распределения, что говорит о стабильности процесса. Часто бывает, что форма распределения отклоняется от нормального. Это свидетельствует о нарушениях в процессе и необходимости применения управляющих воздействий.

Рис. 5.6. Пример гистограммы

Преимуществом гистограммы является ее наглядность, простота, возможность быстро представить вид распределения большого числа данных. Также гистограмма показывает взаимосвязь изменения контролируемых параметров по отношению к инженерным спецификациям. К недостаткам можно отнести – отсутствие возможности количественно оценить стабильность процесса, отсутствие привязки ко времени, необходимость большого числа данных для точной оценки структуры распределения, возможность различного толкования результатов, некоторая субъективность в представлении формы распределения.

Вопросы для самоконтроля.

1. Дайте определение вероятности безотказной работы и вероятности отказа. Как они определяются? Вид их графического представления.

2. Дайте определение функции распределения и плотности распределения. Какая взаимосвязь между этими величинами и вероятностью безотказной работы?

3. Представьте вид функции распределения для дискретной и непрерывной случайной величины.

4. Дайте определение интенсивности отказов и нахождение ее значений. Приведите примеры. Объясните вид и характер функции интенсивности отказов.

5. Что такое гистограмма и для чего ее используют? Какой порядок построения гистограммы?

Дата добавления: 2015-04-30