Логарифмически нормальное распределение

Логарифмически нормальное распределение применяют дня описания наработки до отказа подшипников, электронных ламп и других изделий. К таким изделиям относятся те, у которых отказ наступает вследствие усталостного разрушения.

Это значит, что значения логарифмически нормальной случайной величины формируются под воздействием очень большого числа взаимно независимых факторов, причем воздействие каждого отдельного фактора «равномерно незначительно» и равновероятно по знаку.

Неотрицательная случайная величина распределена логарифмически нормально, если ее логарифм распределен нормально. Плотность распределения для различных значений σ приведена на рис. 6.6.

Рис. 6.6. Плотность логарифмически нормального распределения

Плотность распределения описывается зависимостью

, (6.16)

где М и s— параметры, оцениваемые по результатам п испытаний до отказа;

. (6.17)

Для логарифмически нормального закона распределения функция надежности выглядит так:

. (6.18)

Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам для нормального распределения в зависимости от значения квантили

u_p = (ln x – M)/s.

Математическое ожидание наработки до отказа

. (6.19)

Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации соответственно равны:

; (6.20)

. (6.21)

При n _х £ 0,3 полагают, что n _х = s _x,при этом ошибка не более 1%.

Часто применяют запись зависимостей для логарифмически нормального закона в десятичных логарифмах. В соответствии с этим законом плотность распределения

. (6.22)

Оценки параметров lg х ₀ и s определяют по результатам испытаний:

, . (6.23)

Математическое ожидание М [ X ],среднее квадратическое отклонение s _x и коэффициент вариации n _х наработки до отказа соответственно равны:

; (6.24)

; (6.25)

. (6.26)

Пример 6.7. Определить вероятность безотказной работы редуктора в течение t =10³ ч, если ресурс распределен логарифмически нормально с параметрами lg t ₀ = 3,6, s = 0,3.

Решение. Найдем значение квантили и по ней определим вероятность безотказной работы:

u_p = (lg t – lg t ₀)/s.

u_p = (lg 10³ – 3,6)/0,3 = – 2;

Р (t)= Ф ₀ (u_p) = Ф ₀ (– 2) = 0,0228.

Дата добавления: 2015-04-30