Выдвижение гипотезы о предполагаемом теоретическом законе распределения

Выравнивание опытной информации теоретическим законом распределения.

Полученные распределения показателей надежности в виде таблицы 4.1 и графиков (рисунки 1, 2) построены по данным выборочной совокупности ограниченного объема. Они отражают не только общие закономерности, но и те случайные особенности, в которых эксплуатировались объекты выборочной совокупности. Поэтому, прежде чем распространять полученные распределения и их характеристики на всю генеральную совокупность, от этих особенностей необходимо освободиться. Эта задача решается путем замены опытного распределения специально подобранным наиболее адекватным ему теоретическим законом, справедливым для всей генеральной совокупности машин. Указанная замена называется процессом выравнивания (сглаживания) статистической информации, а установленный таким образом теоретический закон распределения (ТЗР) позволяет рассчитывать показатели надежности как всей совокупности машин данного типа, так и любой выборочной их совокупности.

Процесс выравнивания (сглаживания) статистической (опытной) информации включает в себя: выдвижение гипотезы о предполагаемом ТЗР; вычисление и графическое построение дифференциального и интегрального ТЗР; проверку правдоподобия (сходимости) опытного распределения и ТЗР; принятие решения о замене опытного распределения наиболее адекватным ему теоретическим законом.

Известно, что ресурс объектов агропромышленного и лесного комплексов наиболее адекватно описываются нормальным законом распределения (НЗР) и законом распределения Вейбулла (ЗРВ). Экспоненциальный закон (ЭЗР) и закон распределения Релея являются частными случаями ЗРВ. Предварительное суждение (гипотезу) о предполагаемом ЗР можно составить по виду полигона опытных вероятностей и (или) значению коэффициента вариации. Если приходится выбирать между ЭЗР и НЗР, то с достаточной степенью уверенности можно сформулировать правдоподобную гипотезу по виду полигона. В других ситуациях более информативной характеристикой является коэффициент вариации . При этом, если , то выдвигают гипотезу о НЗР. Если , то более адекватной представляется гипотеза о ЗРВ. При значениях коэффициента вариации возникает неопределенность. В этой ситуации гипотезы о НЗР и ЗРВ являются равноправными, поэтому производится расчет дифференциального и интегрального ЗР обоих видов с последующей проверкой правдоподобия каждого из них по одному из критериев согласия и принятием соответствующего решения.

4.1.2. Расчет и построение дифференциального и интегрального ТЗР для нормального закона распределения Известно, что плотность функции нормального распределения (дифференциальный закон) описывается зависимостью вида:

, (4.1)

а функция распределения (интегральный закон) –

, (4.2)

где – значение СВ (в данном случае ресурса); – среднее значение СВ, вычисленное по результатам наблюдений – оценка математического ожидания СВ; – оценка среднеквадратического отклонения СВ, вычисленная по результатам наблюдений. Интеграл вида (4.2) не табличный, поэтому целесообразно вычислить его значения численным методом и затабулировать. Для удобства вычислений и табулирования введем переменную:

.

Тогда .В конечном итоге получим центрированные и нормированные функции:

, .

Правые части полученных выражений зависят только от одной величины , поэтому они вычисляются заранее и сводятся в таблицы. В этих условиях вычисление теоретических вероятностей попадания ресурса в i-й интервал осуществляется по зависимости

,

где – длина интервала, принятая при построении статистического ряда; – квантиль нормального распределения, значение которого вычислено для середины -го интервала ; – значение центрированной и нормированной плотности распределения из Приложения 1; n – число интервалов, принятое при составлении статистического ряда.

При этом следует учесть, что . Используя значение p(t_ci) можно определить теоретическое число интересующих нас событий (число ресурсных отказов в i -м интервале) по формуле:

(4.3)

Вычисление функции распределения осуществляется по зависимости

; ,

где – квантиль нормального распределения, значение которого вычислено для конца -го интервала ; – значение интегральной функции нормального распределения, взятые из Приложения 3; n – число интервалов, принятое при составлении статистического ряда.При этом следует учесть, что

.

Используя значения функции распределения, можно вычислить теоретическую частоту – теоретическое число двигателей, отказавших в -м интервале

. (4.4)

Результаты вычисления теоретических частот, вероятностей и накопленных вероятностей сводятся в таблицу 4.2 Сравнивая зависимости (4.3) и (4.4), следует заметить, что более целесообразно вычислять теоретическое число отказов по формуле (4.4).

По данным таблицы 4.2 строят графики теоретических вероятностей и функции распределения . Первый строится на графике полигона (рисунок 1), второй – на графике накопленных опытных вероятностей (рисунок 2) с соблюдением соответствующих правил за исключением того, что точки этих графиков соединяются между собой плавной кривой линией.

Таблица 4.2 – Результаты выравнивания закона распределения

№ инт.	Границы интервала, мото.-ч	Середина интервала tci, м.-ч.	Теоретическая частота, mTi	Теоретическая вероятность, p(tci)	Накопленная теоретическая вероятность, F(tкi)
начало tнi	окончание tкi

t×10^-3 м.-ч

Рис.1. Дифференциальный закон распределения ресурсов:

– полигон распределения опытных вероятностей;

– распределение теоретических вероятностей.

t×10^-3 м.-ч

Рис.2. Интегральный закон распределения ресурсов:

– накопленные опытные вероятности; – накопленные

теоретические вероятности.

График может быть использован для определения теоретического числа машин достигших предельного состояния: а) к любому моменту наработки умножением общего числа машин на значение ординаты , то есть m_T(t_i) = F(t_i) N; б) в любом интервале умножением общего числа машин на разность ординат при , то есть , График дифференциального закона позволяет рельефно выявить степень близости (расхождения) опытного и теоретического распределений.

Дата добавления: 2015-04-30