Решение. Решение типовых задач

Решение типовых задач

Задача № 1

Обработать ряд результатов наблюдений X_i (таблица 1), полученный по результатам многократных прямых измерений сопротивления, и оценить случайную погрешность измерения, считая результаты исправленными и равноточными. Доверительную вероятность принять Р_д = 0,95. Результат измерения представить по одной из форм, предусмотренных ГОСТ 8.207-76.

Таблица 1

i
Xi	32,700	32,744	32,786	32,578	32,848	32,593	32,588	32,519	32,603

Продолжение таблицы 1

i
Xi	32,627	32,635	32,970	32,754	32,702	32.879	32.799	32.775	32.690

Окончание таблицы 1

i
Xi	32,671	32,645	32,701	32,688	32,676	32,685	32,826

1 Так как в условии задачи указано, что результаты измерения являются исправленными и равноточными, то производить исключение систематических погрешностей нет необходимости.

2 Вычисляем среднее арифметическое результатов наблюдений

кОм.

Значение принимается за результат измерения.

3 Определяем случайные отклонения V_i результатов отдельных наблюдений по формуле

V_i = X_i - .

Результаты промежуточных расчетов заносим в таблицу 2.

Таблица 2

i
Vi	- 0,007	0,037	0,079	- 0,129	0,133
V^2i	0,049×10^-3	1,369×10^-3	6,241×10^-3	16,641×10^-3	17,689×10^-3

Продолжение таблицы 2

i
Vi	- 0,114	- 0,119	- 0,188	- 0,104	- 0,080
V^2i	12,996×10^-3	14,161×10^-3	35,344×10^-3	10,816×10^-3	6,4×10^-3

Продолжение таблицы 2

i
Vi	- 0,072	0,263	0,047	- 0,005	0,172
V^2i	5,184×10^-3	69,169×10^-3	2,209×10^-3	0,025×10^-3	29,584×10^-3

Продолжение таблицы 2

i
Vi	0,092	0,068	- 0,017	- 0,036	- 0,062
V^2i	8,464×10^-3	4,624×10^-3	0,289×10^-3	1,296×10^-3	3,844×10^-3

Продолжение таблицы 2

i
Vi	- 0,006	- 0,019	- 0,031	- 0,022	0,119
V^2i	0,036×10^-3	0,361×10^-3	0,961×10^-3	0,484×10^-3	14,161×10^-3

Правильность вычислений и V_i определяем по формуле . Если , то имеют место ошибки в вычислениях.

4 Вычисляем оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдений

кОм.

5 С помощью критерия грубых погрешностей (критерий «трёх сигм») проверяем наличие грубых погрешностей.

В соответствии с этим критерием, если , то такое наблюдение содержит грубую погрешность. В случае обнаружения грубой погрешности в i-м наблюдении необходимо это наблюдение исключить из результатов наблюдений и повторить вычисления по пп. 1-5 для меньшего числа n.

В решаемой задаче кОм и, как видно из таблицы 2, грубые погрешности отсутствуют.

6 Определяем оценку среднего квадратического отклонения результата измерения из выражения

кОм.

7 Выдвигаем гипотезу о принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению и проверяем эту гипотезу.

а) При числе результатов наблюдений n > 50 для проверки принадлежности их к нормальному распределению в соответствии с ГОСТ 11.006-74 предпочти-

тельным является один из критериев c² Пирсона или Мизеса-Смирнова.

При числе результатов наблюдений 50>n>15 для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтительным является составной критерий, приведённый в [9].

При числе результатов наблюдений n£15 принадлежность их к нормальному распределению не проверяют. При этом нахождение доверительных границ случайной погрешности результата измерения по методике, предусмотренной [1], возможно в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению. Если условие принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению не выполняется, методы вычисления доверительных границ случайной погрешности должны быть указаны в методике выполнения конкретных измерений.

В решаемой задаче n = 25. Поэтому принадлежность результатов наблюдений к нормальному распределению проверяем по составному критерию.

б) Критерий 1. Вычисляем смещённую оценку среднего квадратического отклонения по формуле

кОм.

Вычисляем параметр

.

Результаты наблюдений можно считать распределенными нормально, если

,

где и - квантили распределения, получаемые из таблицы 3 по n, q₁/2 и (1 - q₁/2), причем q₁ - заранее выбранный уровень значимости критерия.

Выбираем уровень значимости q равным 5 %. Из таблицы 3 находим = =0,868, = 0,704. Сравнивая полученное значение с этими величинами, делаем вывод о том, что по критерию 1 результаты наблюдений распределены по нормальному закону.

Критерий 2. Этот критерий используется дополнительно для проверки «концов» распределений.

Гипотеза о нормальности по критерию 2 не отвергается, если не более m разностей V_i превзошли значение , где верная квантиль распределения нормированной функции Лапласа отвечает вероятности P/2.

Дата добавления: 2015-04-30