Теоретико-множественное определение системы

В заключение данного пункта рассмотрим определение системы, основанное на понятии теоретико-множественных представлений и отображениях множеств типа гомоморфизма и изоморфизма (система как семантическая модель). Более подробное теоретико-множественное описание систем будет дано ниже.

Пусть А и В – два произвольных множества. Функция , одно­значно ставящая в соответствие каждому элементу элемент , называется отображением множества А в множество В и обозначается как .

Элемент называется значением элемента а при ото­бражении , или образом а; А – область определения, В – область значений отображения .

Если есть элементы , не являющиеся образом никаких элементов , то отображение/называется отображением «в» В. Если , то отображение называется отображением «на» В.

Функция – множество элементов из А, образы которых принадлежат В, называется прообразом множества элементов В, т.е.

. (1.5)

В общем случае может не быть отображением «в» или «на» А, так как функция может быть неоднозначной.

Отображение называется взаимно однозначным, если каж­дый элемент множества В является образом не более чем одного элемента из множества А.

Определение 1.59 .Отображение множества на называется гомоморфизмом множеств и , если выполняется условие

, где .

Определение 1.60. Отображение множества на называется изоморфизмом множеств и , если выполняется условие

, где .

Введенные понятия позволяют определить модель как изомор­физм А в , где – множество фиксированных элементов пред­метной области с исследуемыми связями, отношениями между эти­ми элементами, – абстрактное множество, задаваемое кортежем

(1.6)

где множество элементов модели, соответствующих элементампредметной области, называемое носителем модели;

предикаты, отображающие наличие того или иного отношения между элементами предметной области.

Определение 1.61. Предикат – это логическая арная пропозициональная фун­кция, определенная для предметной области и принимающая зна­чения либо истинности, либо ложности.

Носитель модели является содержательной областью преди­катов . Предикаты называются сигнатурой модели .

Выбор носителя и сигнатуры при построении модели опреде­ляется предметом исследования.

Уточним теперь понятие системы, ориентированное на зада­чи декомпозиции, анализа и синтеза, т.е. на проведение преобра­зования между двумя подмоделями.

Системой называется кортеж

(1.7)

Здесь подмодель, определяющая поведение системы.

Иногда эта подмодель может рассматриваться как «черный ящик»;

подмодель, определяющая структуру системы при

внутреннем рассмотрении;

предикат целостности, определяющий назначение системы, семантику (смысл) моделей и , а также семантику преобразования .

, если преобразование существует при взаимно однозначном соответствии между элементами носите­лей моделей и , в противном случае . Наличие предиката целостности позволяет говорить о том, что система это семантическая модель, имеющая внутреннюю интерпретацию.

Подмодель может быть представлена в виде кортежа, вклю­чающего пять объектов:

(1.8)

где входной сигнал, т.е. конечное множество функций времени ;

выходной сигнал, представляющий собой конечное множе­ство функций ;

переменная состояния модели , характеризующаяся конечным множеством функций , знание которых в заданный момент времени позволяет определить значения выходных характеристик модели ;

и функционалы (глобальные уравнения системы), задающие текущие значения выходного сигнала и внутреннего состояния :

(1.9)

, . (1.10)

Соотношения (1.9) и (1.10) называют уравнением наблюдения и уравнением состояния системы соответственно. Если в описа­ние системы введены функционалы и , то она уже не рассмат­ривается как «черный ящик». Однако для многих систем опреде­ление глобальных уравнений оказывается делом трудным и за­частую даже невозможным, что и объясняет необходимость использования этого термина.

Кроме выражения (1.7) систему задают тремя аксиомами.

Аксиома 1. Для системы определены пространство состо­яний , в которых может находиться система, и параметрическое пространство Т, в котором задано поведение системы.

В связи с этим математические описания вида (1.8) приня­то называть динамическими системами, так как они отражают способность систем изменять состояния в параметрическом пространстве Т.

В отличие от динамических, статические сис­темы таким свойством не обладают. В качестве параметрического пространства обычно рассматривается временной интер­вал .

Аксиома 2. Пространство состояний Z содержит не менее двух элементов.

Эта аксиома отражает естественное представле­ние о том, что сложная система может находиться в разных со­стояниях.

Аксиома 3. Система обладает свойством функциональной эмерджентности.

Рассмотрим свойство целостности.

Определение 1.62. Эмерджентностъ (целостность) - это такое свойство систе­мы S, которое принципиально не сводится к сумме свойств эле­ментов, составляющих систему, и не выводится из них:

, (1.11)

где -я характеристика системы S;

общее количество характеристик.

При таком рассмотрении система является совокупностью моделей и, главное, отражает семантику предметной области в отличие от неинтерпретированных частных математических мо­делей. Другими словами, система – это совокупность взаимосвя­занных элементов, обладающая интегративными свойствами (эмерджентностью), а также способ отображения реальных объектов.

Под сложной кибернетичес­кой системой понимается реальный объект с управлением и его отображение в сознании исследователя как совокупность моде­лей, адекватная решаемой задаче.

Дата добавления: 2015-04-30