Системный изоморфизм и гомоморфизм

Выше уже рассматривались свойства изоморфизма и гомоморфизма систем. Но, учитывая важность их важность, для общей теории систем изучим некоторые особенности этих понятий.

Аналогия, или сходство (подобие), между сложными объектами, явлениями, процессами и их моделями или описывающими их системами бывает разных типов. Важнейший тип сходства, который наблю­дается между объектами, явлениями и их моделями или описываю­щими их самыми различными системами, – это аналогия в структуре, т.е. в характере элементов и связей (отношений) между элементами вплоть до одинаковости структуры [5,7,19,30,50,58,72].

Для описания этой аналогии систем часто пользуются понятиями изоморфизма и гомоморфизма. Хотя эти понятия заимствованы из математики, в сложившемся словоупотреблении они используются не только в узком и строгом математическом смысле, но и приобретают более широкий и расплывчатый смысл, особенно в дисциплинах, далеких от математики.

Гомоморфизм, изоморфизм логико-математические понятия, выражающие уподобление (гомоморфизм) либо одинаковость (изоморфизм) строения систем. Две системы А и В называются изоморфными, если между их элементами, а также функциями, свойствами и отношениями, имеющими смысл для этих систем, существует или может быть установлено взаимно-однозначное соответствие.

Для изоморфных систем A и В выполняются следующие условия:

· каждому элементу соответствует единственный элемент ;

· каждой функции f, определенной на элементах и принимающей значения в А, соответствует единственная функция g, определенная на элементах ;

· каждому свойству Р, которым обладают. элементы системы А, соответствует взаимно-однозначное свойство элементов В, и наоборот.

Ослабление перечисленных условий, скажем, требование взаимно-однозначного соответствия только в одну сторону, приводит к более общему, но и более слабому отношению гоморфизма. Изоморфный образ полностью воспроизводит отображаемую систему, например, зеркальное отображение изоморфно отображаемому предмету, схема радиоприемника изоморфна самому приемнику. Гомоморфный образ лишь отчасти похож на свой оригинал, например, карта местности воспроизводит лишь некоторые черты этой местности, перевод языкового текста лишь отчасти похож на оригинал.

Всякий изоморфизм. есть гомоморфизм, но не наоборот.

Понятие изоморфизма в математике формализует, уточняет интуитивное понятие одинаковости структуры. Оно относится к системам объектов (элементов) с заданными в них операциями или прошениями.

В общей теории систем принято также следующее определение изоморфизма (которое, если проанализировать его, совпадает по существу с приведенным выше).

Две системы (т.е. два множества) с заданными на них отношениями считаются изоморфными, если:

1) их структурные элементы попарно взаимнооднозначно соответствуют друг другу:

2) некоторое подмножество элементов первой системы связано «отношением , то подмножество соответствующих элементов второй системы связано отношением , и наоборот.

Полный изоморфизм может быть лишь между абстрактными, идеализированными объектами, например, соответствие между геометрической фигурой и ее аналитическим выражением в виде формулы. изоморфизм связан не со всеми, а лишь с некоторыми фиксированными в познавательном акте свойствами и отношениями сравниваемых объектов, которые в других своих отношениях могут отличаться.

Например, изоморфными могут оказаться структура, обеспечивающая передачу сообщений от всех отправителей к некоторому получателю в компьютерной сети (элементы – компьютеры с отношением непосредственной связи между ними) и система логического выводи некоторого утверждения (элементы – отдельные утверждения, отношение - непосредственное следование одного утверждения из других). Одинаковость структуры здесь означает, что различный смысл сис­темообразующих отношений, равно как и различие элементов систем при сопоставлении их, не учитываются.

Наличие изоморфизма двух систем (в рассматриваемом узком смысле) означает, что если какая-то система S ₁ является изоморфной системе S ₂, то S ₁ может быть рассмотрена как модель системы S ₂ изучение самых разнообразных свойств системы S ₂ сводится к изучению свойств модели S ₁или к использованию ее известных свойств. Разумеется, это положение остается верным, пока интересующие нас свойства исследуемых объектов могут быть описаны посредством простейшей модели, учитывающей только ее структуру. Иными словами, по существу речь идет о структурных свойствах систем.

Математическая практика показывает, что даже такое «неглубокое» сходство систем, как изоморфизм, т.е. одинаковость структуры, может оказаться достаточным, чтобы выявить и перенести на другие системы весьма глубокие системные свойства. Здесь уже возникает изоморфизм в системах знаний об изучаемых системах: изоморфизм понятий, утверждений, теорий. При этом «одинаковые», соответствующие друг другу элементы имеют совершенно различный смысл и исходных системах. В таких случаях иногда образно говорят о более или менее «глубоком» изоморфизме систем. При этом изоморфизм свойств систем, знаний о них является теоретическим следствием изоморфизма систем в классическом узком смысле.

Использование понятия изоморфизма в более широком, размытом смысле, при сопоставлении сложных объектов, процессов и явлений и установлении их аналогий часто не опирается на выявление структуры объектов, их элементов и системообразующих отношений. Иными словами, суть аналогии или одинаковости структуры не выясняется, и предполагается интуитивно понятной. Идеальным примером изоморфных систем в широком, размытом смысле считается негатив и позитив фотоснимка, или, например, речь и ее запись на магнитофонной пленке или компактном диске. Техническое устройство и его чертеж на бумаге также находятся в изоморфном соответствии.

Условное понятие «степень изоморфизма» можно наглядно продемонстрировать на примере глубокой аналогии между различными видами колебаний - механическими и акустическими, что и явилось основой создания общей теории колебаний. Говоря о более или менее глубоком изоморфизме, «степени изоморфизма», имеют в виду большее или меньшее число аналогичных свойств у сопоставляемых систем.

В тех случаях, когда понятие изоморфизма используется в широком смысле, без прояснения того, в чем именно состоит аналогии, то по существу нельзя найти обоснование, которое обеспечивало бы Перенос свойств известных систем на новые, менее изученные системы. Перенос на новые системы в большей степени играет роль предви­дения, чем обоснования. «Степень изоморфизма» между системами условно определяется количеством «совпадающих элементов» и в разных случаях может быть весьма различной.

Идеальный изоморфизм – если все элементы совпадают, тогда степень изоморфизма между системами максимальна и равна единице.

Степень изоморфизма минимальна и равна нулю, если нет совпадающих элементов. На практике степень изоморфизма .

Как было указано выше, общесистемные закономерности, часто определяются на базе изоморфизма структур систем различной природы. Установление изоморфизма между различными явлениями позволяет с большой веро­ятностью переносить соответствующую изученную модель в иссле­дуемую область. Принцип изоморфизма структур систем играет важ­ную роль в системных исследованиях различных явлений в различных областях науки и в различных сферах жизни.

Итак, объект (явление, процесс) и его модель изоморфны (подоб­ны), если существует взаимнооднозначное соответствие между структу­рами (элементами и связями) объекта и модели. Если же соответствие между ними однозначно лишь в одном направлении, то они гомоморфные. Как правило, между объектами и их моделями обычно справедливы отношения гомоморфизма. Аналогично этому можно ввести понятие изоморфизма и гомоморфизма между моделями.

Гомоморфизм, в отличие от изоморфизма, представляет собой такое соответствие между двумя системами, которое не является взаимнооднозначным в обоих направлениях, а однозначным лишь в одном направлении. Другими словами, при гомоморфизме аналогия между двумя системами меньше, чем при изоморфизме, и одна из систем является как бы упрощенной копией другой.

Дата добавления: 2015-04-30