Редукция системы

Принцип дуальности сигнала и системы.

При рассмотрении радиоэлектронных устройств и систем, АСУ силами соединений и флотов, БИУС кораблей и подводных лодок одним из основных подходов является представление их в виде информационного объекта (модели).

Информационный объект, это объект, который функционирует на основе использования информации о событиях, ситуациях, процессах, происходящих вне или внутри рассматриваемой системы.

Носителями информации являются сигналы. Физическая модель системы (объекта) определяет и физические свойства сигналов и характер их обработки.

В принципе два понятия «сигнал» и «система» рассматриваются как два самостоятельных понятия. Сигналы представляют собой потоки информации между системами, а системы – средства обработки сигналов. Однако между понятиями «сигнал» и «система» существует тесная связь, так как каждый сигнал можно рассматривать как результат функционирования некоторой системы. Дуализм системы и сигнала следует из коммутативности свертки. Выходной сигнал системы y (t) представляется как результат свертки входного сигнала u (t) и импульсной характеристики системы h (t) (y (t)= u (t)* h (t)). Из выражения свертки нельзя решить, какая из функций является входным сигналом, а какая - импульсной характеристикой.

Изучая общие закономерности функционирования информационных систем, математическая теория систем абстрагируется от физических свойств сигналов и технических особенностей их обработки в системах и использует лишь математические модели для описания сигналов и систем. Таким образом, математическая теория систем позволяет строить феноменологические модели систем и исследовать процесс их функционирования, абстрагируясь от содержательной составляющей.

В этом пункте будет рассмотрено применение методов морфизма к задачам редукции систем, применительно к гладким динамическим системам, т.е. к системам, описываемым дифференциальными уравнениями. В большинстве случаев, решение задач для многомерных нелинейных систем сопряжено с большими математическими и алгоритмическими трудностями, а также с большими затратами машинного времени и ресурсов. Поэтому в теории систем актуальной и важной является разработка методов редукции нелинейных систем, т.е. приведения систем к более простому виду, например, к декомпозиции на системы меньшей размерности. Подходы к проблеме редукции могут быть разные, в частности, использующие приближенные методы. Рассмотрим, наиболее естественный и очевидный подход, который присутствует по существу в любой теории математических объектов, скажем, в теории линейных пространств, в теории групп и т.д. [17,18,36,37,38]

Редукция, о которой ниже будет идти речь, – это редукция, основанная на сопоставлении исходному объекту изоморфного объекта, факторобъекта и подобъекта. Например, в теории линейных пространств это редукция к изоморфному линейному пространству, факторпространству и подпространству. Собственно, изложение элементов любой теории начинается с введения этих редуцированных объектов и определения основных их свойств по отношению к исходному объекту. Поэтому можно сказать, что теория редукции нелинейных систем (согласно, данному подходу) представляет собой элементы общей теории таких систем. Оказывается, что данная теория имеет чисто дифференциально-геометрический и теоретико-групповой характер.

Формальное определение указанных редуцированных объектов, которое подходит для любой математической теории, можно сделать в рамках теории категорий или теории структур Бурбаки. На описательном уровне та или иная категория (например, категория линейных пространств или категория групп) представляет собой класс объектов, причем каждый объект S является множеством M с заданной на нем некоторой структурой одного и того же рода. Эту структуру можно трактовать как совокупность связей определенного вида между элементами множества M. Кроме объектов в категорию входят морфизмы, осуществляющие взаимосвязи между объектами. Если объекты S ₁, S ₂ заданы на множествах M ₁, M ₂, то морфизмом f объекта S ₁ в объект S ₂ является отображение M ₁ в M ₂, сохраняющее структуру данного рода (т.е. сохраняющее соответствующие связи между элементами множеств). Например, в категории линейных пространств морфизмами являются линейные отображения, а в категории групп – гомоморфизмы.

Для нелинейных управляемых систем (УС)

, (1.12)

можно построить категорию следующим образом. Объектами этой категории, которую обозначим через NS, являются управляемые системы. Морфизмы определяются так. Рассмотрим наряду с некоторой системой S ₁, описываемой соотношениями (1.12), управляемую систему S ₂, описываемую соотношениями

. (1.13)

Морфизмом системы S ₁ в систему S ₂ называется отображение f фазового пространства M системы S ₁ в фазовое пространство L системы S ₂, переводящее решения (фазовые траектории) системы S ₁ в решения системы S ₂.

Изоморфизм в той или иной категории – это морфизм f, представляющий собой взаимно однозначное отображение, причем обратное отображение также является морфизмом. Если для объектов S ₁ и S ₂ существует изоморфизм S ₁ в S ₂, то объекты S ₁ и S ₂ называются изоморфными. Изоморфные объекты имеют одинаковые свойства в рамках данной категории. Например, в категории линейных пространств изоморфизмы – это линейные изоморфизмы.

Редукция УС к изоморфной или, как еще говорят, эквивалентной системе целесообразен, если последняя имеет более простой вид. Например, сложная нелинейная система может быть эквивалентна линейной системе. В этом случае нелинейность является «случайной чертой», которая стирается при переходе к эквивалентной системе. Существенные свойства УС, такие, как управляемость, устойчивость, оптимальность решений, сохраняются при переходе к эквивалентной системе. Поэтому естественно попытаться решить ту или иную задачу управления для эквивалентной системы более простого вида, а затем «перенести» полученное решение на исходную систему с помощью изоморфизма.

Понятие подобъекта возникает в связи с желанием корректно построить сужение (ограничение) данного объекта S ₁, заданного на множестве M, на подмножество N множества M. Вообще говоря, объект S ₁ сузить на произвольное множество нельзя. Объект S ₂, заданный на подмножестве N, называется подобъектом, если каноническое вложение N в M является морфизмом. Например, в категории линейных пространств подобъекты – это линейные подпространства.

Потребность в сужении управляемой системы S ₁, т.е. в переходе к подсистеме S ₂, заданной на подмножестве N множества M, возникает, если из практических соображений на элементы множества M наложены некоторые ограничения (начальные условия, граничные условия и т.д.). В этом случае естественно попытаться сузить систему S ₁ на некоторое подмножество N, для которого эти ограничения удовлетворяются. Подсистема S ₂, заданная на N, определяет часть решений исходной системы S ₁, лежащих в N и, в частности, удовлетворяющих заданным ограничениям. Поэтому решение задачи управления, поставленной для системы S ₁, может быть сведено к решению аналогичной задачи для подсистемы S ₂ с фазовым пространством меньшей размерности.

В то время как при сужении упрощение достигается за счет перехода на подмножество N множества M, при факторизации упрощение достигается за счет «сжатия» множества M, т.е. перехода на фактормножество M/R по некоторому отношению эквивалентности R. При этом переходе точки, принадлежащие одному классу эквивалентности, «склеиваются» в одну точку фактормножества M/R. Объект S ₂, заданный на M/R, называется факторобъектом объекта S ₁, заданного на M, если каноническая проекция из M в M/R является морфизмом. Например, в категории линейных пространств факторобъекты – это факторпространства.

Значение факторизации для редукции управляемых систем заключается в том, что она порождает определенную декомпозицию исходной системы. Точнее, если у системы S ₁ существует факторсистема

, (1.14)

заданная на некотором фактормножестве M/R, то система S ₁ эквивалентна системе вида

, . (1.15)

Из вида этой системы следует, что любое решение системы может быть получено следующим образом. Сначала нужно найти решение факторсистемы (1.14) (соответствующее некоторому управлению ), а затем, после подстановки в , найти . На этом факте основана декомпозиция алгоритмов решения задач управления. Заметим также, что многие свойства управляемой системы (наблюдаемость, автономность и др.) определяются существованием факторсистем специального вида.

Понятия изоморфного объекта, факторобъекта и подобъекта могут применяться для редукции исходного объекта совместно и в различной последовательности. Конкретная последовательность переходов к редуцированной системе называется схемой редукции, а число переходов - глубиной редукции. При решении той или иной задачи управления схема и глубина редукции выбираются исходя из условий задачи.

Главным в проблеме редукции является построение математического аппарата для нахождения редуцированных объектов. Математический аппарат составляют понятия, которые имеют инвариантный характер относительно морфизмов. Для категории управляемых систем NS и ее различных подкатегорий эффективным инструментом исследования проблемы редукции являются ассоциированные дифференциально-геометрические и теоретико-групповые объекты: группа преобразований, алгебра Ли векторных полей, аффинное распределение, кораспределение, система Пфаффа и др. Объекты такого рода можно связать с каждой управляемой системой, причем структура этих объектов сохраняется при морфизмах категории управляемых систем. Отметим, например, следующие результаты. Подмножества, на которых могут существовать подсистемы должны быть инвариантными многообразиями ассоциированной группы. Следовательно, для существования (нетривиальных) подсистем ассоциированная группа должна быть интранзитивной. С другой стороны для существования (нетривиальных) факторсистем ассоциированная группа должна быть импримитивной.

Дата добавления: 2015-04-30