Значение случайной погрешности заранее неизвестно, оно возникает из-за множества неуточненных факторов

Систематическая погрешность рассматривается по составляющим в зависимости от источников ее возникновения, причем различают методическую, инструментальную и субъективную составляющие погрешности.

В зависимости от характера проявления, причин возникновения и возможностей устранения различают систематическую и случайную составляющие погрешности измерений, а также грубые погрешности (промахи).

Систематическая D_c составляющая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра.

Случайная составляющая изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра случайным образом.

Грубые погрешности (промахи) возникают из-за ошибочных действий оператора, неисправности СИ или резких изменений условий измерений. Как правило, грубые погрешности выявляются в результате обработки результатов измерений с помощью специальных критериев.

Случайная и систематическая составляющие погрешности измерения проявляются одновременно, так что общая погрешность при их независимости D = D_с + или через СКО .

Субъективные систематические погрешности связаны с индивидуальными особенностями оператора. Как правило, эта погрешность возникает из-за ошибок в отсчете показаний (примерно 0,1 деления шкалы) и неопытности оператора. В основном же систематические погрешности возникают из-за методической и инструментальной составляющих.

Методическая составляющая погрешности обусловлена несовершенством метода измерения, приемами использования СИ, некорректностью расчетных формул и округления результатов.

Инструментальная составляющая возникает из-за собственной погрешности СИ, определяемой классом точности, влиянием СИ на результат и ограниченной разрешающей способности СИ.

Целесообразность разделения систематической погрешности на методическую и инструментальную составляющие определяется следующими моментами:

·для повышения точности измерений можно выделить лимитирующие факторы, а следовательно, принять решение об усовершенствовании методики или выборе более точных СИ;

·появляется возможность определить составляющую общей погрешности, увеличивающейся со временем или под влиянием внешних факторов, а следовательно, целенаправленно осуществлять периодические поверки и аттестации;

·инструментальная составляющая может быть оценена до разработки методики, а потенциальные точностные возможности выбранного метода определит только методическая составляющая.

Случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов измерений.Для этого должны быть известны вероятностные и статистические характеристики (закон распределения, закон математического ожидания, СКО, доверительная вероятность и доверительный интервал). Часто для предварительной оценки закона распределения параметра используют относительную величину СКО— коэффициент вариации:

или

(2.5)

Например, при можно считать, что распределение случайной величины подчиняется нормальному закону.

Если Р означает вероятность a того, что результата измерения отличается от истинного на величину не более чем , т. е.

(2.6)

то в этом случае Р — доверительная вероятность, а интервал от до — доверительный интервал. Таким образом, для характеристики случайной погрешности надо обязательно задать два числа — величину самой погрешности (или доверительный интервал) и доверительную вероятность.

Если распределение случайной погрешности подчиняется нормальному закону (а это как правило), то вместо значения указывается s _x. Одновременно это уже определяет и доверительную вероятность Р. Например: при значение Р =0,68; при значение P =0,95; при значение Р =0,99.

Доверительная вероятность по формуле (2.6) характеризует вероятность того, что отдельное измерение x_i не будет отклоняться от истинного значения более чем на . Безусловно, важнее знать отклонение от истинного значения среднего арифметического ряда измерений.

До сих пор рассматривались оценки СКО по "необходимому" (достаточно большому) числу измерений. В этом случае s² называется генеральной дисперсией. При малом числе измерений (менее 10—20) получают так называемую выборочную дисперсию . Причем лишь при n ®¥. То есть если считать, что , то надежность оценки уменьшается с уменьшением n, а значения доверительной вероятности Р завышаются.

Поэтому при ограниченном числе измерений п вводят коэффициент Стьюдента t_p, определяемый по специальным таблицам в зависимости от числа измерений и принятой доверительной вероятности Р.

Тогда средний результат измерений находится с заданной вероятностью Р в интервале и отличается от действительного значения на относительную величину .

Для уменьшения случайной погрешности есть два пути: повышение точности измерений (уменьшение s _x) и увеличение числа измерений п с целью использования соотношения (2.4). Считая, что все возможности совершенствова ния техники измерений использованы, рассмотрим второй путь. При этом отметим, что уменьшать случайную составляющую погрешности целесообразно лишь до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью определяться систематической составляющей D. Если систематическая погрешность определяется классом точности СИ D_си (или g_си), то необходимо, чтобы доверительный интервал был существенно меньше D_с.

Обычно принимают от . В случае невозможности выполнить эти соотношения необходимо коренным образом изменить методику измерения. Для сравнения случайных погрешностей с различными законами распределения использование показателей, сводящих плотность распределения к одному или нескольким числам, обязательно. В качестве таких чисел и выступают СКО, доверительный интервал и доверительная вероятность.

Надежность самого СКО характеризуется величиной

Принято, что если s_s £ 0,25s, то оценка точности надежна. Это условие выполняется уже при n =8.

Для практических целей важно уметь правильно сформулировать требования к точности измерений. Например, если за допустимую погрешность изготовления принять D=3s, то, повышая требования к контролю (например, до D=s), при сохранении технологии изготовления увеличива ется вероятность брака.

Наиболее вероятная погрешность D_в отдельного измерения определяется по формуле

Анализ этой формулы показывает, что с увеличением n величина D_в быстро уменьшается лишь до n =5,...,10. Следовательно, увеличение числа измерений на одном режиме свыше 5...10 нецелесообразно, что совпадает с условием получения надежных значений s_s.

Число измерений можно выбрать из данных табл. 2.1 или по одной из формул:

где n _от — число отбрасываемых экспериментальных результатов. С учетом коэффициентов Стьюдента можно оценить относительную погрешность отдельного измерения как среднего значения .

Таблица 2.1

Необходимое число измерений при нормальном законе распределения случайной величины (при P =0,95)

Как правило, считают, что систематические погрешности могут быть обнаружены и исключены. Однако в реальных условиях полностью исключить систематическую составляющую погрешности невозможно. Всегда остаются какие-то неисключенные остатки, которые и нужно учитывать, чтобы оценить их границы. Это и будет систематическая погрешность измерения. То есть, в принципе, систематическая погрешность тоже случайна, и указанное деление обусловлено лишь установившимися традициями обработки и представления результатов измерения.

Оставшаяся необнаруженной систематическая составляющая опаснее случайной: если случайная составляющая вызывает вариацию (разброс) результатов, то систематическая — устойчиво их искажает (смещает). В любом случае отсутствие или незначительность (с целью пренебрежения) систематической погрешности нужно доказать.

Действительно, если взять два ряда измерений одной и той же величины, то средние результаты этих рядов, как правило, будут различны. Это расхождение может быть определено случайной или систематической составляющей. Методика выявления характера погрешности заключается в следующем:

1. Из двух рядов n ₁ и n ₂ независимых измерений находят средние арифметические и .

2. Определяют значения

3. Вычисляют

4. Вероятность того, что разность является случайной величиной, определяется равенством

где .

Величина Р определяется по таблице Стьюдента.

Если полученная вероятность Р ³ 0,95, то разность носит систематический характер.

Пример 2.2. Расчетные значения составили t_p = 3 и n = 15. По таблице Стьюдента находим, что при n- 1=14 и t_p =2,98@3 величина Р =0,99. Тогда Р =0,99>0,95, что свидетельствует о систематическом характере погрешности.

То есть все виды составляющих погрешности нужно анализировать и выявлять в отдельности, а затем суммировать их в зависимости от характера, что является основной задачей при разработке и аттестации методик выполнения измерений.

Дата добавления: 2015-04-30