Методы обработки результатов измерений

2.9.1. Многократные прямые равноточные измерения

2.9.2. Неравноточные измерения

2.9.3. Однократные измерения

2.9.4. Косвенные измерения

2.9.5. Совместные и совокупные измерения

2.9.1. Многократные прямые равноточные измерения

Последовательность обработки результатов измерений включает следующие этапы:

·исправляют результаты наблюдений исключением (если это возможно) систематической погрешности;

·вычисляют среднее арифметическое значение по формуле (2.1);

·вычисляют выборочное СКО от значения погрешности измерений по формуле (2.2);

·исключают промахи;

·определяют закон распределения случайной составляющей;

·при заданном значении доверительной вероятности Р и числе измерений п по таблицам определяют коэффициент Стьюдента t_p;

·находят границы доверительного интервала для случайной погрешности ;

·если величина сравнима с абсолютным значением погрешности СИ, то величину D_си считают неисключенной систематической составляющей и в качестве доверительного интервала вычисляют величину

Если в результате измерительного эксперимента можно четко выделить составляющие q НСП, то D_S определяется по ГОСТ 8.207­-76

или, по упрощенной формуле: (по данным [42], погрешность такой замены не превышает 5,...,10%);

·окончательный результат записывают в виде = х ±D_S при вероятности Р.

2.9.2. Неравноточные измерения

При планировании измерительных операций и обработке их результатов зачастую приходится пользоваться неравноточными измерениями (т. е. измерениями одной и той же физической величины, выполненными с различной точностью, разными приборами, в различных условиях, различными исследователями и т. д.).

Для оценки наиболее вероятного значения величины по данным неравноточных измерений вводят понятие "веса" измерения:

g_i = n_i / ,

где n _i и — объем и дисперсия i -й серии равноточных измерений.

Тогда, если неравноточные измерения привели к результатам ( — среднеарифметическое ряда равноточных измерений; j £ т), то наиболее вероятным значением величины будет ее средневзвешенное значение:

Вероятность a того, что лежит в пределах равноточных измерений (), определяется вышеприведен ным методом для равноточных измерений.

2.9.3. Однократные измерения

Прямые статистические измерения в большей мере относятся к лабораторным (исследовательским), например при разработке и аттестации методики, когда погрешность измерений выявляется в процессе проведения и обработки экспериментальных данных.

Для производственных процессов более характерны однократные технические прямые или косвенные измерения. Здесь процедура измерений регламентируется заранее, с тем чтобы при известной точности СИ и условиях измерения погрешность не превзошла определенное значение, т. е. значения D и Р заданы априори. Поскольку измерения выполняются без повторных наблюдений, то нельзя отделить случайную от систематической составляющей. Поэтому для оценки погрешности дают лишь ее границы с учетом возможных влияющих величин. Последние лишь оценивают своими границами, но не измеряют. На практике дополнительные погрешности, как правило, не учитываются, так как измерения осуществляют в основном в нормальных условиях, а субъективные погрешности также весьма малы.

В принципе, однократные измерения достаточны, если неисключенная систематическая погрешность (например, класс точности СИ) заведомо больше случайной. Практически это достигается при =(0,50,...,0,25)D_с. Тогда результат измерения записывают в виде

x = x_с ± D_S при вероятности Р = 0,95,

где х _си — результат, зафиксированный СИ; — суммарная погрешность измерения, определяемая классом точности СИ (D_си) и методической погрешностью (D_мет).
Для уточненной оценки возможности применения однократных измерений следует сопоставить суммарные погрешности, получаемые при этом, с суммарными погрешностями многократных измерений при наличии случайной и неисключенной систематической составляющих. Учитывая, что и при многократных измерениях суммарное СКО результата

а при однократных

Изменение отношения

Рис. 2.12. Взаимосвязь g (n) c q/s_x и п

в зависимости от q/s_x и числа измерений приведено на рис. 2.12, из графиков которого следует:

·при q/s_x ³ 8 отношение g@const и практически не зависит от n, т. е. в этих условиях нет смысла в многократных измерениях, случайная составляющая пренебрежительно мала и определяющей является неисключенная систематическая составляющая;

·при q/s_x £ 0,8 функция g(n) явно зависит от п, т. е. здесь существенную роль играет случайная составляющая, неисключенная систематическая составляющая пренебрежительно мала и однократные измерения недопустимы;

·при 0,8 £ q/s_x £ 8 должны учитываться и случайная, и неисключенная систематическая составляющие.

В последнем случае композицию этих составляющих и погрешность результатов измерения находят по эмпирической формуле

,

(2.14)

где — коэффициент, соответствующий q -му уровню значимости данной композиции; — СКО композиции; q(P) и (Р) — соответственно неисключен ная систематическая составляющая и доверительная граница случайной погрешности при заданной доверительной вероятности Р.

Вычисление погрешности D(Р) по формуле (2.14) дает погрешность не более 12%, но достаточно сложным способом. Поэтому можно пользоваться упрощенной формулой

.

(2.15)

Коэффициент К_P находят в зависимости от доверитель ной вероятности Р, принимаемой на уровне 0,95 или 0,99, следующим образом:

Практически, если одна из составляющих D_c или менее 5% общей погрешности, то этой составляющей можно пренебречь.

Алгоритм действий, например, при разработке и аттестации методик выполнения измерений с однократными измерениями заключается в следующем:

1. Предварительно устанавливают необходимую допускаемую погрешность D_g измерения.

2. Для самой неблагоприятной функции распределения — нормальной в соответствии с ГОСТ 8.207­-76 находят D_c, =2s _x и принимают Р = 0,95.

3. Находят значение погрешности D=0,85( + D_с) и сравнивают его с D_g. Если

D£0,8Dg,

(2.16)

то однократные наблюдения возможны с погрешностью до 20%. Если 0,8D_g<D<[D], то полученное значение следует уточнить с учетом D_с и s_х. При D_с/s_х£0,43 или D_с/s_х 7 значение погрешности D определяют по формуле D = 0,9( +D_с). Если

D£0,89Dg,

(2.17)

то однократные измерения возможны с погрешностью не более 11%.

В случае 0,43< <7 вычисляют D=0,75( + D_с), и если

D£0,93Dg,

(2.18)

то однократные измерения возможны с погрешностью не более 7%.

Если соотношения (2.17) и (2.18) не соблюдаются, то определяют "весомость " составляющих погрешности. При превалирующей случайной составляющей >D_с необходимо перейти к многократным измерениям. При <D_с нужно уменьшить методическую или инструментальную составляющие (например, выбором более точного СИ).

Практически при однократных измерениях, чтобы избежать промахов, делают 2—3 измерения и за результат принимают среднее значение. Предельная погрешность однократных измерений в основном определяется классом точности D_си СИ. При этом, как правило, систематическая составляющая не превосходит D_с£0,3D_си, а случайная D_с£0,4D_си, поэтому, учитывая, что D_изм=±(D_с+ ), погрешность результата однократного измерения можно принять равной D_изм = 0,7D_си.

Поскольку D_изм£3s _x (s _x — СКО параметра), то реально погрешность однократного измерения с вероятностью 0,90—0,95 не превзойдет (2—2,5)s _x.

Пример 2.7. Оценить погрешность результата однократного измерения напряжения U = 0,9 В на входном сопротивлении R =4 Ом, выполненного вольтметром класса точности 0,5 с верхним пределом диапазона измерений U =1,5 В и имеющим сопротивление R_v =1000 Ом. Известно, что дополнительные погрешности показаний СИ из-за влияния магнитного поля и температуры не превышают соответственно d_ип=±0,75% и d_Т=±0,3% допускаемой предельной погрешности.

Р е ш е н и е. 1. Предел допускаемой относительной погрешности вольтметра на отметке 0,9 В составляет

2. При подсоединении вольтметра исходное напряжение U_x (рис. 2.13) изменится из-за наличия R_v и составит

Тогда методическая погрешность, обусловленная конечным значением R_v, в относительной форме составит

Рис. 2.13. Схема измерения напряжения

3. Данная методическая погрешность является систематической составляющей погрешностью измерения и должна быть внесена в результат в виде поправки q =-d_м=0,4% или в абсолютной форме на отметке 0,9 В

В.

Тогда результат измерения с учетом поправки будет равен

=0,900 + 0,004 =0,904 В.

4. Поскольку основная и дополнительные погрешности заданы своими граничными значениями, то они могут рассматриваться как неисключенные систематические. По формуле (2.10) при доверительной вероятности Р =0,95 доверительная граница неисключенной систематической составляющей будет

,

а в абсолютной форме

В.

5. Ввиду того что D > q, окончательный результат измерения записывается в виде

2.9.4. Косвенные измерения

Косвенные измерения предполагают наличие функциональной связи

Y = f (x 1, x 2,..., xn),

(2.19)

где x ₁, x ₂,..., x_n — подлежащие прямым измерениям аргументы функции Y.

Очевидно, погрешность в оценке Y зависит от погрешностей при измерениях аргументов. При этом могут иметь место два случая: аргументы взаимонезависимы и взаимозависимы.

Для независимых аргументов абсолютная погрешность

относительная

и СКО функции

где частные производные ¶ f / dx ₁, ¶ f / dx ₂... вычисляются при х ₁ = ₂, х ₁= ₁..., а величины D x ₁, D x ₂,... определяют, например, с помощью коэффициентов Стьюдента для одного и того же значения доверительной вероятности.

При вводе b_i = ¶ Y / dx_i — абсолютного коэффициента влияния аргумента х в функцию Y ее абсолютная погрешность составит

(2.20)

Тогда относительная погрешность определяется как

(2.21)

где B_i = относительный коэффициент влияния.

Если в качестве меры точности измерений выступает СКО, то

(2.22)

Если аналитические функциональные связи вида (2.19) не установлены, то при разработке методики выполнения измерений можно использовать опытные значения .

(2.23)

где D Y — изменение функции, вызванное изменением D _xi i -го аргумента; и — средние (расчетные или номинальные) значения функции и аргумента. Окончательный результат записывают в виде Y = ± D Y при вероятности Р.

В качестве практических рекомендаций можно использовать следующие положения;

·если коэффициенты влияния менее 0,001 (0,1%), то эти параметры можно не учитывать;

·для коэффициентов влияния в пределах 0,001...0,050 (0,1... 5%) требования к точности их измерения невелики (2...5%);

·если коэффициенты влияния больше 0,05 (5%), то требования к точности информации повышаются до 1% и выше.

В случае взаимной зависимости аргументов находят парные коэффициенты корреляции

(2.24)

Значения r лежат в пределах -1<r<+1. При r=0 — величины взаимонезависимы. Однако если r=0, следует проверить значимость этой величины. Для этого используют t — критерий

(2.25)

Если расчетное по формуле (2.25) значение З t £r, то взаимосвязь между параметрами необходимо учитывать. Практически, если r< 0,20,...,0,25, то корреляционную связь считают несущественной.

При наличии взаимосвязей между x_i и х_j с учетом уравнений (2.20)—(2.23)

(2.26)

де i =1, 2,..., i,..., k,..., n.

При числе взаимозависимых аргументов больше двух тесноту связи оценивают частным или множественным коэффициентом корреляции, в основе вычисления которого лежат значения парных коэффициентов корреляции. Например, для трех аргументов х, у и z

Коэффициент R всегда положителен и заключен между 0 и 1. Если, например, величина z находится в зависимости от х и у как z = ах+bу+с, то влияние величины х на изменение z оценивают частным коэффициентом корреляции

Аналогично определяется р_х(z,у). Частные коэффициенты корреляции обладают теми же свойствами, что и коэффициенты линейной корреляции.

Алгоритм обработки результатов косвенных измерений включает следующие этапы:

1. Для результатов прямых измерений аргументов х вычисляют выборочные средние и выборочные стандартные отклонения

2. Для каждого аргумента вычисляют суммарные систематические погрешности в виде СКО:

где s_суб, s_окр характеризуют разброс результатов из-за субъективных причин, округления и т.п.

3. Находят выборочное среднее функции по m аргументам с учетом коэффициентов влияния

4. Вычисляют стандартные отклонения случайных и систематических составляющих функции

5. Сравнивают и :

а) если << , то результат записывают в виде Y = Y +D_с при вероятности Р. Здесь, задавшись вероятностью Р, полуинтервал D_с находят с помощью коэффициентов Чебышева по формуле (2.13) D_c=g _P ;

б) если >> , то результат записывают как Y = , при Р= a и ;

в) если и сравнимы, то результат представляют в виде Y = ; ; .

Доверительные границы результатов косвенных измерений можно оценить и по формулам, аналогичным (2.14) и (2.15), предварительно оценив неисключенную составляющую систематической погрешности косвенного измерения как по каждому аргументу, так и в целом функции.

Представление относительной погрешности сложной функции (2.19) в виде

дает возможность вычислить погрешность функции по известным погрешностям аргументов (прямая задача); оценить допустимые погрешности аргументов, при которых общая погрешность не превысит заданной величины (обратная задача); оптимизировать условия измерений, обоснованно минимизируя суммарную погрешность, заранее установив требования к точности измерения, подобрать соответствующую аппаратуру.

Пример 2.8. Рассмотрим факторы, влияющие на погрешность определения удельного эффективного расхода топлива g_e, который может быть представлен в виде функции величин, измеряемых прямым методом

где G и t — доза топлива и время ее расхода; п _t — постоянная частота вращения двигателя за время t _n ее измерения; M_e — крутящий момент на валу двигателя.

Р е ш е н и е. Погрешность определяется по формуле:

В соответствии с нормативами величина g_e должна быть измерена с точностью до 1 %. Если принять, что каждый из аргументов одинаково влияет на общую погрешность, то

Однако известные методы не позволяют измерить M_e с точностью выше ±0,5%, G — ±0,2%. В то же время частоту вращения и временные интервалы имеется возможность измерять более точно — с относительной погрешностью не хуже ±0,1%. Таким образом, суммарная погрешность при использовании существующих средств измерения составит ± (0,5+0,2+0,1+0,1+0,1) =± 1%, что удовлетворяет требованиям ГОСТа.

Приведенный пример показывает, что для повышения точности косвенных измерений прежде всего нужно стремиться снизить наибольшие погрешности отдельных аргументов.

Традиционный подход к решению основной задачи косвенных измерений (нахождению оценки результатов косвенного измерения и его погрешности) состоит в следующем:

·предполагают достаточную гладкость функции (2.19);

·разлагают эту функцию в ряд Тейлора в окрестности аргумента x_i;

·исследуют значимость отбрасываемого остаточного члена ряда Тейлора, предполагая незначительность погрешностей оценок аргумента.

При этом необходимы сведения (реальные или принимаемые за реальные) о законе распределения погрешностей аргумента.

Для технических измерений предложен более простой и не менее точный подход, основанный на методе математического программирования, сводящий аналитическую задачу к вычислительной [13]. При этом в информации о законе распределения аргумента нет необходимости. В качестве оценки принимается полусумма максимального и минимального значений функции Y, а оценки абсолютной погрешности — полуразность этих значений:

(2.27)

Тогда относительная погрешность

(2.28)

Пример 2.9. Измерение мощности Р в активной нагрузке сопротивлением R = 100 Ом ±5 Ом определяется с помощью вольтметра класса точности g = 1,5 с пределом измерения U _г = 300 В. Оценить измеренную мощность и погрешность, если прибор показал U _п=240 В.

Р е ш е н и е 1. Предел абсолютной погрешности вольтметра составляет

Надо отметить, что определение коэффициентов влияния при косвенных измерениях — задача весьма ответственная и трудоемкая. Необходимость оценки этих коэффициентов пока не нашла должного понимания, хотя знание их не только позволяет целенаправленно вести работу при оптимизации производственных процессов, но и при техническом обслуживании и ремонте, выборе соответствующих средств и методов измерения. Зачастую это формирует и требования к режимам эксплуатации ТС.

2.9.5. Совместные и совокупные измерения

Одновременные измерения двух или нескольких величин называются совместными, если уравнения измерения для этих величин образуют систему линейных независимых уравнений. Например, для двух измеряемых величин х и у:

f ₁(x ₁, y; a₁,b₁;...; a ₁, b ₁;...) = 0;

f ₂(x, y; a₂,b₂;...; a ₁, b ₁;...) = 0,

где a₁,b₁;...; a₂,b₂;... — результаты прямых или косвенных измерений; a₁,b₁;...; a₂,b₂;... — физические константы или постоянные СИ.

Если число уравнений превышает число неизвестных, то полученную систему решают методом наименьших квадратов (МНК) и находят оценки х и у и их СКО. Доверительные интервалы для истинных значений х и у строят на основе распределения Стьюдента. При нормальном распределении погрешностей МНК приводит к наиболее вероятным оценкам, удовлетворяющим принципу максимума правдоподобия.

Совокупные измерения отличаются от совместных только тем, что при совокупных измерениях одновременно измеряют несколько одноименных величин, а при совместных — разноименных. Математический аппарат у этих видов измерений один. Учитывая характер измеряемых величин, совместные измерения можно рассматривать как обобщение косвенных, а совокупные — как обобщение прямых измерений.

Дата добавления: 2015-04-30