Оценка неисключенной составляющей систематической погрешности измерений

Внесение поправок в результат является наиболее распространенным способом исключения Dс. Поправка численно равна значению систематической погрешности, противоположна ей по знаку и алгебраически суммируется с результатом измерения

Внесение поправок в результаты измерений

q = -Dс.

(2.7)

Однако D_с, а следовательно, и q в зависимости от условий измерения может рассматриваться либо как детерминированная, либо как случайная величина. Например, если погрешность определяется только погрешностью СИ, то D_с — величина детерминированная. Если известен лишь диапазон изменения D_с, то она учитывается как случайная величина.

Рис. 2.6. Закон распределения систематической погрешности

Для характеристики случайности D_с используются оценки ее математического ожидания M [D_с] и дисперсии D [D_с], по которым подбирают вид закона плотности распределения f [D_с] (рис. 2.6). Тогда поправка q =- M [D_с] и ее дисперсия D [D_с] характеризуют неопределенность систематической составляющей D_с при использовании конкретного СИ. Соответственно дисперсия поправки D [ q ]= D [D_с]. При D [ q ]=0 поправка q становится детерминированной величиной. Поэтому целесообразность введения поправки зависит от соотношения величин q, дисперсии случайной составляющей D [ ] и числа измерений n. Для этого может быть использован вероятностный метод В. Г. Литвинова.

Пусть для конкретных условий измерений определены оценки q, D [ q ], D [ ] и n. За действительное значение принято неисправленное среднее арифметическое ряда x ₁, х ₂,..., x_n со СКО

При учете поправки q за действительное значение измеряемой величины принимают исправленное среднее

.

Тогда оценка дисперсии исправленного значения x _и.с составит

Оценки х и x _и.с являются случайными величинами и имеют свои функции плотности и j(x _и.с) (рис. 2.7). Из-за наличия систематической составляющей и неопределенности значения q оценки х и x _и.с оказываются смещенными относительно истинного значения x _и

Тогда

(2.8)

Рис. 2.7. Оценка смещения среднего

Чем меньше значение (2.8), тем оценка точнее. Точность этой оценки можно повысить за счет устранения смещения или уменьшения дисперсииD[ ]. При учете поправки, с одной стороны, устраняется смещение оценки , при этом ее точность повышается; с другой стороны, происходит снижение точности оценки x _и.с, так как увеличивается значение дисперсии D [ x _и.с] из-за неопределенности поправки. Поэтому для уточнения оценки предлагается критерий относительной эффективности

(2.9)

Если е <1, то исправленная оценка x _и.с будет точнее, чем , и поправку следует учитывать. Если е >1, то более точной является оценка . Если е =1, то оценки и х _и.с равноценны по точности.

Для инженерных расчетов генеральные значения в формуле (2.9) можно заменить статистическими оценками, т. е.

Из условия £1 следует, что при любом числе измерений поправку необходимо учитывать, если выполняется

В отличие от случайной погрешности, характеристики и границы которой устанавливают методами математической статистики, границы и устранение систематических погрешностей осуществляют только с помощью соответствующих экспериментальных методов.

Если систематические погрешности невозможно исключить, то дают оценку доверительных границ неисключенной составляющей погрешности (НСП). НСП результата измерения образуется из составляющих НСП метода, СИ или других источников. В частности, приведенная погрешность СИ и неточность изготовления меры есть неисключенные систематические погрешности.

В качестве границ составляющих НСП принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей СИ, если случайные составляющие погрешности пренебрежимо малы.

При оценке границ НСП в соответствии с ГОСТ 8.207—76 их рассматривают как случайные величины, распределен ные по равномерному закону. Тогда границы НСП q результата измерения можно вычислить по формуле

(2.10)

где — граница i -й составляющей НСП; К — коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью Р. Если число суммируемых НСП более четырех (m >4), то коэффициент К выбирается из ряда:

P	0,9	0,95	0,98	0,99
K	0,95	1,1	1,3	1,4

Рис. 2.8. График зависимости k = f(m,l)

Если число суммируемых погрешностей m £ 4, то коэффициент К определяют по графику на рис. 2.8, где l =q₁/q₂. При трех или четырех слагаемых в качестве q₁ принимают наибольшее значение НСП, а в качестве q₂ — ближайшую к ней составляющую. Доверительную вероятность для вычисления границ НСП принимают той же, что и при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата измерения.

Данные рекомендации основаны на аппроксимации композиции равномерно распределенных независимых величин, из которых наибольшая в l раз превышает ближайшую к ней.

При наличии нескольких источников неисключенной составляющей погрешности СКО суммарной НСП определяется как

При многократных измерениях характеристика НСП задается симметричными границами ±q, а при однократных (см. п. 2.9.3) — интервальной оценкой в виде доверительной границы q(P) и точечной оценкой в виде выборочной дисперсии .

Поскольку постоянные НСП, возникающие из-за погрешности СИ, не могут быть определены, то в качестве интервальной оценки может выступать предел допустимой погрешности СИ.

2.7. Выявление и исключение грубых погрешностей (промахов)

Грубые погрешности измерений (промахи) могут сильно исказить , s и доверительный интервал, поэтому их исключение из серии измерений обязательно. Обычно они сразу видны в ряду полученных результатов, но в каждом конкретном случае это необходимо доказать. Существует ряд критериев для оценки промахов [36; 53].

Критерий 3 s. В этом случае считается, что результат, возникающий с вероятностью Р £0,003, малореален и его можно квалифицировать промахом, т. е. сомнительный результат х_i отбрасывается, если

Величины и s вычисляют без учета x_i. Данный критерий надежен при числе измерений n ³20,...,50.

Если n < 20, целесообразно применять критерий Романовского.

При этом вычисляют отношение и полученное значение b сравнивают с теоретическим b_т — при выбираемом уровне значимости Р по табл. 2.2.

Таблица 2.2

Уровень значимости b_т = f(n)

Обычно выбирают Р = 0,01-0,05, и если b ³ b_т, то результат отбрасывают.

Пример 2.4. При диагностировании топливной системы автомобиля результаты пяти измерений расхода топлива составили 22, 24, 26, 28 и 48 л/100 км. Последний результат ставим под сомнение

;

Поскольку n < 20, то по критерию Романовского при Р = 0,01 и n = 4 b_т = 1,73:

Критерий свидетельствует о необходимости отбрасывания последнего результата.

Если число измерений невелико (до 10), то можно использовать критерий Шовине. В этом случае промахом считается результат x_i, если разность превышает значения s, приведенные ниже в зависимости от числа измерений:

Пример 2.5. Измерение силы тока дало следующие результаты: 10,07; 10,08; 10,10; 10,12; 10,13; 10,15; 10,16; 10,17; 10,20; 10,40 A. Необходимо проверить, не является ли промахом значение 10,40 A?

Р е ш е н и е. Обработав данные, получим значения:

s = 0,094 A.

По критерию Шовине Поэтому результат 10,40 является промахом.

Дата добавления: 2015-04-30