Основы статистической обработки результатов измерений, содержащих случайные погрешности

Обработка результатов измерений

В данном разделе рассматриваются правила обработки результатов измерений, выполняемых произвольно (без привлечения стандартизованных МВИ). Измерения по произвольным методикам выполняются в научных исследованиях, при разработке новых МВИ, при разработке новых средств измерений и т.п. При отсутствии стандартизованной МВИ, обработка результатов производится в соответствии с рекомендациями стандартов, рассмотренных в настоящем разделе. В случае выполнения измерений по стандартизованной МВИ (испытания продукции, сертификация товаров, измерения для контроля качества технологического процесса) обработка результатов производится в соответствии с рекомендациями, изложенными в документации на МВИ.

Многократные независимые наблюденияпозволяют получить ряд числовых значений измеряемой величины. Эти значения отличаются один от другого, но при одинаковых условиях проведения измерений заслуживают одинакового доверия. Обработка результатов измерений с многократными независимыми наблюдениями производится в предположении о том, что результаты наблюдений, содержащих только случайные погрешности, принадлежат нормальному распределению, оценки параметров которого находятся в соответствии с принципами математической статистики.

В случае, когда проделано n независимых измерений, то имеем n наблюдений х₁, х₂, … х_n, которые называют случайной выборкой объема n из генеральной совокупности. По данным выборки определяются: выборочное среднее арифметическое значение (далее просто среднее арифметическое)

(6.1)

и выборочное среднее квадратическое отклонение от выборочного среднего арифметического

. (6.2)

В математической статистике показывается, что средние выборочные значения и S_n являются случайными величинами, распределенными также по нормальному закону, как и сами данные генеральной совокупности.

Согласно той же математической статистике, выборочное среднее арифметическое является несмещенной состоятельной оценкой математического ожидания измеряемой величины.

Данная оценка является несмещенной, так как математическое ожидание выборочного среднего арифметического равняется математическому ожиданию или истинному значению измеряемой величины.

Данная оценка является состоятельной, так как по мере увеличения объема выборки оценка приближается к оцениваемому параметру с вероятноятью, стремящейся к единице.

(6.3)

Знак у означает, что выборочный параметр используется в качестве оценки математического ожидания измеряемой величины.

Выборочное среднее квадратическое отклонение от среднего арифметического, вычисляемое по формуле (6.2) является несмещенной состоятельной оценкой среднего квадратического отклонения измеряемой величины, которое при нормальном распределении результатов измерения и при бесконечном числе измерений должно совпадать со средним квадратическим отклонением случайной ошибки. Но пользуясь отклонением от выборочного среднего арифметического вместо случайной погрешности мы допускаем ошибку, связанную с заменой в выражении (6.2) истинного значения измеряемой величины средним арифметическим, определенным по выборке конечной длины. Согласно теории погрешностей оценка среднего квадратического отклонения результата измерения в раз меньше оценки выборочного среднего квадратического отклонения от среднего арифметического.

(6.4)

Знак у означает, что параметр используется в качестве оценки среднего квадратического отклонения измеряемой величины, совпадающего со средним квадратическим отклонением случайной погрешности.

Оценки математического ожидания измеряемого значения и среднего квадратического отклонения случайной ошибки, выполненные по (6.3) и (6.4) справедливы при симметричном, близком к нормальному, распределении выборочных данных.

Дата добавления: 2015-04-30