Емкостный элемент в цепи синусоидального тока

Пусть к цепи рис. 2.12 действует синусоидальное напряжение

или в комплексной форме

.

Как показано в разделе 2.2., ток в цепи с емкостью пропорционален скорости изменения напряжения, т.е. , т.е.

.

(2.35)

После дифференцирования 2.35 получаем:

,

(2.36)

или в комплексной форме

.

(2.37)

Как видно из 2.36 ток в идеальной емкостной цепи так же, как и напряжение изменяется по синусоидальному закону и опережает напряжение по фазе на одну четверть периода. Амплитуда тока связана с амплитудой напряжения соотношением:

.

(2.38)

Поделив обе части 2.38 на получим:

,

(2.39)

– имеет размерность сопротивления, обозначается Х_С и называется емкостным реактивным сопротивлением.

.

(2.40)

Из 2.40 видно, что емкостное сопротивление уменьшается с увеличением частоты.

Поделив комплекс напряжения на комплекс тока, получим

,

(2.41)

– jXc – называется комплексом емкостного сопротивления, он может принимать только отрицательные значения.

Выражения 2.38, 2.39, 2.41 представляют собой закон Ома для идеальной емкостной цепи соответственно для амплитудных и действующих значений напряжения и тока, а также в комплексной форме.

В соответствии с комплексами напряжения и тока векторная диаграмма идеальной емкостной цепи построена на рис. 2.13.

Мгновенное значение мощности q_C этой цепи равно произведению мгновенных значений напряжения и тока

, т.е.

(2.42)

мгновенная мощность в емкостной цепи также как ток и напряжение есть синусоидальная величина, изменяющаяся с удвоенной частотой по отношению к току и напряжению. Волновые диаграммы напряжения, тока и мощности, приведенные на рис. 2.14, показывают, что мгновенная мощность положительна только в нечетные четверти периода, когда ток и напряжение имеют одинаковое направление. В эти промежутки времени энергия от источника поступает в приемник, где накапливается в электрическом поле.

,

(2.43)

а т.к. i=C , то

. (2.44)

В четные четверти периода, когда напряжение и ток имеют противоположные направления, мгновенная мощность отрицательна. Это означает, что энергия, накопленная в электрическом поле приемника, возвращается к источнику. Таким образом, при работе идеального емкостного приемника энергия циркулирует между источником и электрическим полем приемника, а преобразования ее в другие виды не происходит, поэтому средняя мощность за период равна нулю. Такая цепь называется емкостной реактивной.

2.9. Последовательная цепь элементов R-L-C при синусоидальном токе.

Пусть в цепи рис. 2.15 протекает ток

(2.45)

или в комплексной форме

. (2.46)

Тогда, напряжения на элементах цепи, как показано в разделах 2.6 – 2.8 будут описываться следующими уравнениями:

(2.47)

или в комплексной форме

,
,	(2.48)
.

На основании второго закона Кирхгофа комплекс напряжения на зажимах цепи равен сумме комплексов напряжений на отдельных участках

,

(2.49)

а на основании закона Ома для отдельных участков цепи можно записать

.

Подставим U _R , U _L и U _C в 2.49 и получим

,

решая последнее уравнение относительно комплекса тока получим

.

(2.50)

Выражение 2.50 представляет собой закон Ома для последовательной цепи элементов R-L-C.

Знаменатель формулы 2.50 обозначается Z и называется комплексом полного сопротивления

.

(2.51)

Запишем комплекс полного сопротивления в показательной форме

– модуль комплекса полного сопротивления;

– аргумент комплекса полного сопротивления

.

(2.52)

Подставляя комплекс полного сопротивления в показательной форме в 2.50 и решая его относительно комплекса напряжения будем иметь

,

т.е. приложенное к зажимам цепи напряжение сдвинуто по фазе относительно вектора тока на некоторый угол , величина которого зависит от соотношения сопротивлений элементов цепи.

Как видно из 2.52, если Х_L > X_C, то > 0, а напряжение будет опережать ток на угол , цепь будет носить индуктивный характер

u= U_msin ()

Если X_L < X_C, то < 0 и напряжение будет отставать от тока на угол

u= U_msin (),

а цепь будет носить емкостный характер.

Наконец, если X_L = X_C, то = 0, т.е. напряжение будет совпадать по фазе с током

u= U_msin ,

а цепь будет носить активный характер.

В соответствии с уравнениями 2.46, 2.48 на рис. 2.16 построена векторная диаграмма в предположении, что X_L > X_C. Выделенный на диаграмме треугольник называется треугольником напряжений, из рассмотрения которого вытекает

,

(2.53)

а также

,

(2.54)

U_L – U_C – называется реактивным напряжением.

Поделив все стороны треугольника напряжений на ток, можно получить треугольник сопротивлений (рис. 2.17), из которого могут быть получены соотношения, аналогичные соотношениям, полученным из треугольника напряжений.

и

.

(2.55)

Если все стороны треугольника напряжений умножить на ток, получим треугольник мощностей (рис. 2.18).

Гипотенуза этого треугольника характеризует установленную мощность источника, она называется полной мощностью

. (2.56)

По величине полной мощности выбирают все элементы электротехнических устройств и аппаратов.

Активная мощность

(2.57)

характеризует процессы необратимого преобразования электрической энергии в другие виды. Нетрудно видеть из рис. 2.18, что активная мощность составляет часть полной мощности

.

(2.58)

Реактивная мощность

(2.59)

характеризует процессы обмена энергией между источником и полями приемников. Она составляет другую часть полной мощности

.

(2.60)

Все три мощности, как это видно из рис. 2.17 связаны квадратурой

.

(2.61)

Полную мощность S можно рассматривать как модуль величины, называемой комплексной мощностью .

,
,	(2.62)

где сопряженный комплекс тока.

Из треугольника мощностей следует, что

,

(2.63)

т.е. он показывает, какая доля мощности источника необратимо преобразуется в другие виды, поэтому он называется коэффициентом мощности.

Дата добавления: 2015-05-06