Композиция функций (сложная функция, суперпозиция функций

А

Виды функций.

Сужение функции.

Определение. Пусть , . Сужением функции на множество называется .

Пример. ; ; - область определения функции, отмечается точками оси абсцисс. - множество значений функции, отмечается точками оси ординат.

Рассмотрим сужения этой функции.

а) ; для .

б) ; для

Определение. Функция называется инъекцией (инъектив­ным отображением), если она обладает свойством:

Рис. 1.

Используя закон контрапозиции можно дать другое определение инъекции, равносильное приведённому выше.

Функция называется инъекцией (инъектив­ным отображением), если она обладает свойством:

Определение. Функция называется сюръекцией, если . Сюръекция – это отображение «НА».

Рис.2.

В чём разница рисунков?

На рисунке 1 к некоторым точкам проведены стрелки. Если к точке проведена стрелка, то только одна. На рисунке 2 к каждой точке множе­ства проведена стрелка. К некоторым точкам множества может быть проведено несколько стрелок.

Определение. Функция называется биекцией (взаимноодно­значным отображением), если одновременно инъективно и сюръективно.

Задача (УИРС).

Пусть - конечные множества. - биекция.

Что можно сказать про мощность множеств?

Пример. Определить вид следующих функций.

1. ;

- не является инъекцией,

- сюръекция,

- не является биекцией.

2. ;

- не является инъекцией,

- не является сюръекцией,

- не является биекцией.

3. ;

- инъекция,

- сюръекция,

- биекция.

4. ;

- инъекция,

- сюръекция,

- биекция,

Задача. (УИРС)

Пусть - конечные множества. , .

Сколько существует инъекций таких, что ?

Сколько существует сюръекций таких, что ?

Сколько существует биекций таких, что ? Какое условие су­ществования этих функций?

Определение. Пусть , . Композицией функций и (обозначается ) называется такая функция, что её значение определяется как для .

Областью определения композиции является множество А.

Множеством значений композиции является множество С.

,

- внешняя функция, - внутренняя функция.

Сначала на элементы действует внутренняя, а затем внешняя функ­ция.

Дата добавления: 2015-03-31