Эффективная ставка процента

Схема сложных процентов

T раз

Схема простых процентов

Схема простых процентов предполагает начисление процентов к базовому капиталу S(0). При этом, если T больше года и начисление процентов осуществляется после каждого года, то наращенная стоимость будет равна

S(T) = S(0) + rS(0) + rS(0) +...+ rS(0) =

= S(0) (1 + rT) = S(0) (1 + ).

(Для простоты первоначально полагаем, что T равно целому числу лет).

Из приведенного соотношения имеем

= и

Обычно схема простых процентов используется в практике банковских расчетов для периодов T < 1 года.

Пример. Пусть выдан кредит 100 млн.руб. с 25.03.97 по 25.06.97 под 60 % годовых. Сумма погашения кредита рассчитывается по формуле

S(0) = S(0)(1 + rT),

что при

= 60%, T = = .

S(T) = 100(1 + 0.6× ) = 115 млн.руб.

Для долгосрочных финансовых операций используется схема сложных процентов. При этом после каждого начисления процентов осуществляется их капитализация, то есть на следующий год проценты начисляются к нара-щенной сумме. Наращенная сумма в течение T лет будет изменяться следующим образом.

S(1) = S(0)(1 + r),

S(2) = S(1)(1 + r) = S(0)(1 + r)²

.

.

S(T) = S(T-1)(1 + r) = S(0)(1 + r)^T.

Из этих соотношений следует

1 + = = (1 + r)^T и

= (1 + r)^T - 1.

Сопоставим зависимости процентных ставок на интервале T для схем простых r^T_пр и сложных r^T_сл процентов как функции длины интервала T.

При Т = 0 r^T_пр = r^T_сл = 0. При Т = 1 r^T_пр = r^T_сл = r. В Приложении 2.1 доказано, что при Т < 1 r^T_пр > r^T_сл, а при Т > 1 r^T_пр < r^T_сл. Графики зависимостей r^T_пр и r^T_сл от Т для r = 2 представлены на рисунке 1.3. Из этих зависимостей следует, что для кредитора на интервале Т < 1 более предпочтительна схема простых процентов, а на интервале Т > 1 - схема сложных процентов.

Если период T насчитывает нецелое число лет, то часто используется комбинированная схема. Пусть T = [T] + t, где [T] - целая часть T, t = T - [T] ³ 0. Тогда при годовой ставке процента r процентная ставка за T рассчитывается по формуле

1 + = (1 + r)^[T](1 + r t).

Рис.2.3

Пример. Первоначальный капитал 5000 $ вложен на 4 года под 10 % годовых. Найти доход от вложения денег

а)по схеме простых процентов;

б)по схеме сложных процентов.

а) r = 10%,S(4) = S(0)(1 + rT) = 5000(1 + 4×0.1) = 7000$.

б) S(4) = S(0)(1 + r)^T = 5000(1 + 0.1)⁴ = 7320.5 $.

Пример. Пусть в условиях предыдущего примера T = 4.5 года.Тогда

S(T) = S(0)(1 + r)^[T](1 + r t),

[T] = 4, t = T - [T] = 4.5 - 4 = 0.5,

S(T) = 5000(1 + 0.1)⁴(1 + 0.1×0.5) = 7686.5 $.

Во многих случаях в практике финансовых расчетов приходится по известным значениям наращенной суммы S(T), капитала S(0) определять период T или годовую процентную ставку r. Для схемы простых процентов соответствующие соотношения имеют вид

, .

Для схемы сложных процентов

, .

Для расчета параметров рассматриваемых финансовых операций удобно использовать табличные процессоры для персональных компьютеров. Табличный процессор Excel содержит специальные табличные функции для расчета параметров S(T), T и r по схеме сложных процентов. Приведем корректную запись этих функций. Для Excel 2000 и ранних версий эти функции имеют вид

S(T)=БЗ(r;T;;S(0)), T= КПЕР(r;;S(0);S(T)), r = НОРМА (T;;S(0);S(T)) ·

и могут быть введены с помощью специального инструмента Excel - Мастера функций.Конечно же для вычисления этих параметров можно запрограммировать клетки электронной таблицы путем использования элементарных арифметических операций по соответствующим формулам (тем более это верно для всех соотношений схемы простых процентов). Однако для схемы сложных процентов рациональнее использовать приведенные табличные функции.

Следует заметить, что для Excel XP и старших версий названия финансовых функций изменилось. Соответствие старых и новых названий приведенов в приложении 2.2.

В практике финансовых расчетов используются схемы, при которых проценты на капитал начисляются несколько раз в году. При этом оговариваются годовая процентная ставка r и количество начислений в течение года m. Фактически в этом случае за базовый период принимается 1/m часть года со ставкой сложных процентов r/m.

В результате

.

Пример. Облигация номиналом 100 т.руб. выпущена на 5 лет при номинальной (годовой) ставке процента 10 %. Держатель облигации будет капитализировать проценты. Определить наращенную стоимость при начислении процентов 1 раз в год (m = 1), раз в полугодие (m = 2), раз в квартал (m = 4).

(Облигация - долговое обязательство эмитента, выпустившего ценную бумагу, уплатить владельцу облигации в оговоренный срок номинальную стоимость бумаги и через оговоренные периоды - фиксированный или плавающий процент.)

Приведем расчеты для примера.

m = 1, S(5) = ,

m = 2, S(5) = ,

m = 4, S(5) = .

При количестве начислений m в течение года годовая ставка процента r называется номинальной. Чем больше количество начислений m, тем больше наращенная стоимость S(T).

Годовая ставка , обеспечивающая то же значение наращенной суммы S(T) при одноразовом в течение года начислении процентов, что и m - разовое со ставкой , называется эффективной ставкой.

По определению

= ,

и, следовательно,

= ,

то есть

= - 1.

Электронные таблицы Excel позволяют рассчитать эффективную процентную ставку по номинальной и решить обратную задачу с помощью табличных функций. Их формат имеет вид

=ЭФФЕКТ(r;m),

= НОМИНАЛ(;m).

Расчет эффективных ставок необходим для сопоставления и выбора наиболее доходного варианта инвестиций. Так, если в условиях рассматриваемой задачи с многократным в течение года начислением процентов оказывается больше процентной ставки в операции с начислением процентов один раз в год, то первая из операций является предпочтительной для инвестора.

Эффективная ставка обладает свойством ³ r. Докажем это свойство. Для этого воспользуемся выражением для бинома Ньютона

(1 + x)^m = 1 + mx + +...+ =

= 1 + mx + +.. + x^m.

Используя это разложение для эффективной ставки при x = , получим

= 1 + m + +.. + =

= 1 + r + Q, где Q > 0.

Тогда = (1 + r/m)^m - 1 > 1 + r - 1 = r.

Для предыдущего примера рассчитаем эффективные ставки для m = 1;2;4.

m = 1, = - 1 = r,

m = 2, = - 1 = (1.05)² - 1 = 0.1025 > 0.1 = r,

m = 4, = - 1 = (1.025)⁴ - 1 = 0.1038 > 0.1 = r.

Дата добавления: 2015-03-31