I--1 i---11--II--1 i--1 i--1

[Зм] [3mJ |3mj[3mJ [3mJ \Ьа]

Другая рассудила иначе: 160 дм:5=32дм=3,2м;

А третья решила сшить платье с поясом и пометила для себя: 16:5=3,2

Если вы собе­ретесь шить несколько оди­наковых плать­ев, какой из способов деле­ния ткани вы выберете?"

В 7 классе, в книге "Алгебраические дроби" предлагается рассмотреть практи­ческую задачу, решение которой приводит 1 к понятию "алгебраическая дробь".

Пример 3. "Два прогулочных теплохода совершают рейсы от одной пристани до дру­гой и обратно. Но... один теплоход плывет по реке, а другой — по озеру. Собственные скорости теплоходов и расстояния между пристанями одинаковы. Одинаковое ли вре­мя уйдет на прогулку по озеру и по реке?"

Учебные тексты содержат также различ­ные практические и лабораторные работы, привлекающие предметный опыт ребенка.

|_3.] Задания на выделение признаков усваиваемого понятия, ориентирующие ребенка на выявление множества воз-

Зм Зм Зм Зм Зм

	: 5 = 3,2
	единицы
10 десятые

можных признаков, их дифференциа­цию, соотнесение различных признаков в условиях изучения положительных и отри­цательных примеров понятия, его возмож­ных "масок" и т.д.

Конечно же, существенные признаки по­нятия содержатся в его определении. Од­нако, в силу словесной подачи определе­ния, признаки понятий остаются закрытыми для учащихся, и они не могут сделать выво­ды из факта наличия этих признаков для решения конкретных задач. Кроме того, час­то важным оказывается знание не сущес­твенных признаков, а их многообразия.

В книге "Квадратные уравнения" уча­щимся предлагаются задания, направленные на работу с признаками этого понятия. При­ведем примеры таких заданий.

Пример 1. "Приведите к виду ах^г+Ьх+с=0 следующие уравнения:

а) 5х²=14х-8;

б) -6х-х²=0;

в) х²+2-5,3=0;

г) 1/2=6х²-3/8х;

д) У5хг+г=0;

е) 8,73х²=0.

Назовите первый, второй коэффициенты и свободный член каждого уравнения. Какие значения могут принимать коэффициенты а, Ь, с в квадратном уравнении? На какие груп­пы вы разбили выданные уравнения в зави­симости от значений их коэффициентов?"

Пример 2. "Запишите квадратное урав­нение, у которого:

а) коэффициенты — натуральные числа;

б) коэффициенты — целые числа;

в) коэффициенты —действительные чис­ла;

г) свободный член равен 5, первый ко­эффициент равен 1, а второй — 7;

д)а=Ь=с-12,3;

е) коэффициент при х² равен 1;

ж) второй коэффициент равен у 3+4;

з) с=0, Ь=0; и) а>0, с=0."

Пример 3. "Можно ли любое квадрат­ное уравнение с действительными коэффи­циентами заменить на равносильное ему квадратное уравнение:

а) с положительным первым коэффици­ентом;

б) с первым коэффициентом, равным 1?

Как это сделать? Упрощает ли это вы­числения по формуле корней? Приведите примеры."

Пример 4. "Какая тройка чисел: (13200; 264000; 66100); (1; 0,5; 0,7); (25; 0; 1/4)

а) задает неполное квадратное уравне­ние;

б) задает приведенное квадратное урав­нение?

Запишите эти уравнения и решите их.

Можно ли перед нахождением корней эти уравнения упростить?

Запишите для каждого из полученных уравнений по два равносильных ему урав­нения.

Что можно сказать о коэффициентах рав­носильных квадратных уравнений?"

Пример 6. "Какое из уравнений:

х²+Зх-4=0;

1+Зх+4х²=0

является приведенным?

Запишите уравнения с такими же корня­ми, но:

а) с дробными коэффициентами;

б) с другими целыми коэффициентами;

в) с иррациональными коэффициента­ми/'

| 4. Задания на включение исходного

понятия в систему связей с другими по­нятиями. Сюда входят задания, устанавли­вающие связи между понятиями внутри ма­тематики: натуральные числа и десятичные дроби; разные виды чисел, уравнений и фун­кций, уравнения, неравенства и функции и т.д. Далее, поскольку развитие понятийного мышления предполагает осознание не толь­ко связей между понятиями внутри матема­тики, но и математических понятий с поня­тиями из других областей знаний, учащим­ся предлагается сделать экскурс в геогра­фию и экономику, биологию и технику.

Кроме того, межпонятийные соотноше­ния прослеживаются при анализе этапов развития того или иного понятия в истории математики.

Пример 1. Шестиклассникам предлага­ется проследить связь между различными множествами чисел, проследить как разви­вались понятия в математике.

"Ох, и богато царство иррациональных чисел! Как управлять-то ими? Надо еще ра­зобраться, какое число куда пристроить, ка­ким именем называть.

Известно, что множество натуральных чисел обозначается буквой N, множество целых чисел — буквой Z, множество рацио­нальных чисел — буквой Q.

Попробую-ка я, — подумал Иван, — хотя бы тринадцати числам раздать имена". Со­ставил таблицу и стал в ней звездочки рас­ставлять.

	N	Z	Q
101	*	*	*
2
34
-1		*	*
0
-10931
25
-13
1
"з
-2
7~
14
-17	•
-2534
1000

Помогите Ивану остальные звездочки расставить.

У каких чисел оказалось три имени? Толь­ко одно имя?"

Пример 2. В старых книгах черепахи Тортилы есть записи:

"Сумма двух имуществ — есть имущест­во, двух долгов — долг, имущества и долга — их разность, а если они равны — нуль. Сумма нуля и долга есть долг, имущества и нуля — имущество, двух нулей — нуль". *

"Если разного названия, то вычитается, если одинакового названия, то прибавляет­ся; если положительное без пары, то стано­вится положительным; если отрицательное без пары, то становится отрицательным". **

Переведите эти тексты на современный математический язык.

\5. Задания на развития основных мыслительных операций, лежащих в ос­нове образования понятий (таких, как сравнение, конкретизация и абстраргирова-

________________________________________________________________

*Правила, составленное индийским математи­ком Брахмагуптой (род. 598 г.).

"Это правило по-китайски звучит "чжен-фу", оно взято из дре&нейшего трактата китайских ма­тематиков "Математика в девяти книгах".

ние). Владение мыслительными операция­ми (его субъективной мерой, по Ж. Пиаже, является феномен обратимости операций) позволяет вычленять отношения между объ­ектами мысли, что, несомненно, качествен­но расширяет субъективное пространство осмысления содержания изучаемых понятий.

Пример 1. Учащимся 5 класса предла­гаются задания, выполняя которые, они са­мостоятельно приходят к правилам умноже­ния и деления.

"1. Какое из выражений 4,2+4,2+4,2 или 4,2-4,2-4,2

а) может быть записано в виде 4,2x3?

б) можно проиллюстрировать рисунком:

4,2 ' 4,2 ' 4,2
Пример 2. Ка-
ким способом	а) +4,2
находим значе-	4,2
ние выражения	4,2
4,2x3 в каждом случае:	12,6
б) 4,2 см ■ 3=42 мм - 3=126 мм=12,6 см
в) 4,2.3 =	г) —
= (4+0,2). 3 =	4,2	4,2
=4.3 + 0,2. 3=	^х з	X 3
= 12+ 0,2 + 0,2 + 0,2 =	12,6	12,6
= 12 + 0,2. 3 =
= 12,6	"^--

Сформулируйте правило умножения де­сятичной дроби на натуральное число."

"Чтобы проверить правильно ли вы­полнено деление десятичных дробей, нужно так же, как и при делении нату­ральных чисел, частное умножить на де­литель и должно получиться делимое".

Проверьте, верны ли равенства:

1) 14:7=140:70; 5)0,483:0,21=48,3:21;

2) 25:5=50:10; 6) 5,534:1,43=553,4:143;

3) 1,4:0,7=14:7; 7)400,05:0,127=40005:127;

4) 0,14:0,7=1,4:7; 8) 0,236:2,36=23,6:236.

Какую закономерность вы подметили? Попытайтесь сформулировать правило де­сятичных дробей.

Актуализируя и развивая те компоненты ментального опыта ребенка, которые высту­пают в качестве основы процесса образо­вания понятий, мы, кроме того, должны "со­брать" их воедино с тем, чтобы можно было говорить о действительности сформирован­ное™ понятийных структур "внутри" опыта ребенка. Этому способствовали, на наш взгляд, серии заданий, позволяющих пос­ледовательно выстраивать субъективный образ содержания соответствующего поня­тия. В этом процессе можно выделить сле­дующие основные фазы.

1. Мотивировка — создание условий для осознания учащимися необходимости нового способа описания своего предыду­щего опыта (житейского, физического, ариф­метического, алгебраического), например, за счет создания эффекта "невозможности" разрешения ситуации в силу отсутствия на данный момент адекватных понятийных средств ее анализа;

2. Категоризация — введение знаково-символического и визуального обозначения понятия с последующим постепенным уве­личением степени обобщенности знаково-символического и визуального "языков" представления его содержания, а также ори­ентация ребенка на выделение отличитель­ных частных и общих (несущественных и существенных) признаков соответствующе­го понятия;

3. Обогащение — накопление и диффе­ренциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содержания (за счет вклю­чения разных вариантов его интерпретации, увеличения числа варьирующих по степени существенности признаков, наращивания межпонятийчых связей, использование аль-

тернативных контекстов его анализа и т.д.);

4. Перенос — применение усваиваемо­го понятия в разных ситуациях, в том числе и в условиях самостоятельного выстраива­ния отдельных аспектов его содержания;

5. Свертывание — экстренная реоргани­зация всего множества имеющихся у ребен­ка сведений относительно данного понятия л превращение их в обобщенную знаниевую структуру. Иными словами, развернутый на предыдущих фазах субъективный образ по­нятия на этой фазе может обеспечиваться такими приемами, как создание "бессмыс­ленных" ситуаций (например, в условиях вы­нужденного выполнения долгих, громоздких

. вычислений), работа с "пустыми" заданиями типа "Составь рекламу для изучения обыкно­венных дробей", организация цейтнота и т.д.

Таким образом, образование понятийных структур, выступающих в качестве носите­лей понятийного знания, в предлагаемых учебных текстах контролируется в двух ос­новных аспектах: с точки зрения учета ос­новных компонентов понятийного мышления и с точки зрения пофазной динамики про­цесса образований понятий.

В качестве примера рассмотрим вкратце содержание основных фаз фор­мирования понятия "рационального чис­ла", последовательность которых учиты­валась при конструировании текста учеб­ного пособия "Сказке про Елену Прекрас­ную, Ивана-Царевича и рациональные числа" (6-й класс).

Мотивировка. Ребенок вместе с Иваном-Царевичем попадает в необычное царство Елены Прекрасной, где жители используют только лишь одни числа:

1 5 1092

—; —;--- и т.д.

4 7 1001

Герою, оказавшемуся в новой, непривычной обстановке, нужно разобраться, что это за числа такие, и как они соотносятся с извес­тными ему числами, которые в его, Ивано­вом царстве, хождение имеют: натуральны­ми числами 1, 2, 3, 4, 7, 9..., десятичными дробями 0,25; 5,7000; 800,333...

Категоризация. Вводятся новые терми­ны: сначала — "числитель", "знаменатель", "обыкновеннаядробь", затем — "рациональ­ное число". Одновременно вводится визуаль ный ряд, характеризующий отличительные признаки рационального числа в виде раз­нообразных предметных моделей (разрезан­ного на доли пирога, безразмерного мешка с дробями и т.п.) и нормативных образов (луча, числовой прямой, отрезка и т.п.).

Обогащение. Чтобы уверенно ориенти­роваться в мире чисел вида а/Ь, ребенку с героем приходится осваивать целый ряд до­полнительных характеристик этого матема­тического объекта, таких как "сократимая дробь", "несократимая дробь", "правильная дробь", "неправильная дробь", "смешанное число" и т.д. Кроме того, ребенок приобре­тает новые процедурные знания, то есть, следую тексту, он пересматривает извест­ные ему операции над числами примени­тельно к действиям с новыми числами. Да­лее, обогащению содержания понятия "ра­ционального числа" способствует знакомст­во ребенка с ситуацией, в которой он может убедиться в том, что между двумя рациональ­ными числами (19 и 20) помещается сколь­ко угодно других чисел, и т.д.

Перенос. В тексте создаются условия для самостоятельного переноса усвоенных понятий, касающихся рационального положи­тельного числа, на числа, расположенные левее нуля на числовой оси. В дальнейшем в учебном пособии " Алгебраические дро­би" (Т класс) знания о числе вида а/Ь ис­пользуются в качестве основы для построе­ния теории математических объектов вида А/В, где Аи В — многочлены.

Свертывание. В итоге накопленные све­дения о рациональном числе должны быть

свернуты на уровне единого — целостного, обобщенного и динамического — представ­ления о сути соответствующего математи­ческого объекта. Решению этой задачи спо­собствует, в частности, специальный вопро­сник из 11 вопросов, предлагаемый детям в конце данного учебного пособия. Каждый во­прос, сформулированный в заведомо пара­доксальной форме, выступает в качестве' катализатора процесса свертывания знаний ребенка. Например, вопросы типа: "Какими мерками меряют в Ивановом царстве то, что нельзя целой меркой измерить? Какими мер­ками меряют в Еленином царстве то, что нельзя целой меркой измерить?", "Можно ли узнать, какое царство числами богаче? Ива­ново? Еленино? Или чисел в царствах по­ровну?" и т.д.

Дата добавления: 2015-03-31