Контрольная работа № 6

.

Пример 3. Средняя длина свободного пробега < l > молекулы угле­кислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость <J> молекул и число z соударе­ний, которые испытывает молекула в 1 с.

Решение. Средняя арифметическая скорость молекул опре­деляется по формуле

,

где М — молярная масса вещества.

Подставив числовые значения, получим

<υ>=362 м/с.

Среднее число <z> соударений молекулы в 1 с определяется отно­шением средней скорости <υ> молекулы к средней длине ее свобод­ного пробега < l >:

<z>=<υ>/< l >.

Подставив в эту формулу значения <υ>=362 м/с, < l >=40 нм=4×10^{-8 м, получим}

<z>= 9,05×10⁹ с^-1.

Пример 4. Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной l= 10 см могут свободно вращаться вокруг их общей оси z. Радиус Rбольшого цилиндра равен 5 см. Между цилиндрами имеется зазор размером d=2 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормаль­ных условиях. Внутренний цилиндр приводят во вращение с посто­янной частотой n ₁=20 с^-1. Внешний цилиндр заторможен. Определить, через какой промежуток времени с момента освобождения внешнего цилиндра он приобретет частоту вращения n ₂ = 1c^-1. При расчетах изменением относительной скорости цилиндров пре­небречь. Масса m внешнего цилиндра равна 100 г.

Решение. При вращении внутреннего цилиндра слой воз­духа увлекается им и начинает участвовать во вращательном движе­нии. Вблизи поверхности этого цилиндра слой воздуха приобретает со временем практически такую же линейную скорость, как и ско­рость точек на поверхности цилиндра, т. е. υ=2p n ₁(R – d). Так как d «R, то приближенно можно считать

υ»2p n ₁R (1)

Вследствие внутреннего трения момент импульса передается соседним слоям газа и в конечном счете внешнему цилиндру. За интервал времени Dt внешний цилиндр Приобретает момент импуль­са L= p R, где р — импульс, полученный за Dt внешним цилинд­ром. Отсюда

p =L/R. (2)

С другой стороны,

, (3)

где h — динамическая вязкость; —градиент скорости; S —площадь поверхности цилиндра (S=2pR l).

Приравняв правые части выражений (2) и (3) и выразив из полу­ченного равенства искомый интервал Dt, получим

.

Найдем входящие в эту формулу величины L, и S. Момент импульса L= J w₂, где J — момент инерции цилиндра (J =mR²); m — его масса; w₂ — угловая скорость внешнего цилиндра (w₂=2p n ₂). С учетом этого запишем

L=mR²×2p n ₂=2pmR² n ₂

Градиент скорости .Площадь цилиндра равна S=2pR l.

Подставив в (4) выражения L, , S, получим

.

Заменив здесь υ по (1), найдем

. (5)

Динамическая вязкость воздуха h== 17,2 мкПа×с= 1,72∙10^-5 Па∙с.

Подставив в (5) значения входящих в нее величин и произведя вычисления, получим

.

Пример 5. Найти среднюю кинетическую энергию одной моле­кулы аммиака NH₃ при температуре t=27 °С и среднюю энергию вращательного движения этой молекулы при той же температуре.

Решение. Средняя полная энергия молекулы определяется по формуле

(1)

где i — число степеней свободы молекулы; k — постоянная Больцмана; Т— термодинамическая температура газа: T =t+ Т ₀, где Т ₀=273 К.

Число степеней свободы i четырехатомной молекулы, какой явля­ется молекула аммиака, равно 6.

Подставим значения величин в (l):

.

Средняя энергия вращательного движения молекулы определя­ется по формуле

, (2)

где число 3 означает число степеней свободы поступательного дви­жения.

Подставим в (2) значения величин и вычислим:

.

Заметим, что энергию вращательного движения молекул ам­миака можно было получить иначе, разделив полную энергию (e) на две равные части. Дело в том, что у трех (и более) атомных молекул число степеней свободы, приходящихся на поступательное и враща­тельное движение, одинаково (по 3), поэтому энергии поступатель­ного и вращательного движений одинаковы. В данном случае

Пример 6. Пылинки массой m=10^{-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентра­ция пылинок различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всём объеме одинакова и равна 300 К.}

Решение. При равновесном распределении пылинок кон­центрация их зависит только от координаты z по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно при­менить формулу Больцмана

n=n ₀e^{-U/(k T)}. (1)

Так как в однородном поле силы тяжести U=mgz, то

n=n ₀e^{-mgz/(k T)} (2)

По условию задачи, изменение D n концентрации с высотой мало по сравнению с n (D n / n =0,01), поэтому без существенной погреш­ности изменение концентрации D n можно заменить дифференциа­лом d n.

Дифференцируя выражение (2) по z, получим

d п = —п ₀ e^{-mgz/(k T )}dz.

Так как п ₀e^{-mgz/(k T )}= n, то

d n = - n dz.

Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:

dz= -

Знак минус показывает, что положительным изменениям координа­ты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (d n <0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и заменим дифференциалы dz и d n конечными приращениями D z и D n:

D z = .

Подставим в эту формулу значения величин D n / n =0,01, k=1,38×10^-23 Дж/К, T =300 К, m= 10^{-21 кг,} g=9,81 м/с² и, произведя вычисления, найдем

D z =4,23 мм.

Как видно из полученного результата, концентрация даже таких маленьких пылинок (m== 10^{-18 г) очень быстро изменяется с высотой.}

Пример 7. В сосуде содержится газ, количество вещества v которого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определить число D N молекул, скорости υ которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости υ_в.

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться рас­пределением молекул по относительным скоростям u (u =υ/υ_в). Число d N (u) молекул, относительные скорости и, которых заключены в пределах от u до d u, определяется формулой

, (1)

где N — полное число молекул.

По условию задачи, максимальная скорость интересующих нас молекул υ_max=0,001υ_в, откуда u _max=υ_max/υ_в=0,001. Для таких значений и выражение (1) можно существенно упростить. В самом деле, для u «1 имеем е^-2»1- u ². Пренебрегая значением u ² = (0,001)²=10^-6 по сравнению с единицей, выражение (1) запишем в виде

. (2)

Интегрируя это выражение по и в пределах от 0 до u _max, получим

, или . (3)

Выразив в (3) число молекул N через количество вещества и постоянную Авогадро, найдем расчетную формулу:

. (4)

Подставим в (4) значения величин v, n _a и произведем вычисле­ния:

.

Пример 8. Зная функцию f (р) распределения молекул по импуль­сам, определить среднее значение квадрата импульса < p ²>.

Решение. Среднее значение квадрата импульса < p ²> можно определить по общему правилу вычисления среднего:

. (1)

Функция распределения молекул по импульсам имеет вид

(2)

Эта функция распределения уже нормирована на единицу, т. е.

.

С учетом нормировки формулу (1) перепишем иначе:

(3)

Подставим выражение f(p) по уравнению (2) в формулу (3) и выне­сем величины, не зависящие от р, за знак интеграла:

Этот интеграл можно свести к табличному.

, положив .

В нашем случае это даст

После упрощений и сокращений найдем

< p ²>=3mk T.

Пример 9. Определить количество теплоты DQ, необходимое для нагревания кристалла NaCI массой m=20г на DТ=2К, в двух случаях, если нагревание происходит от температуры: 1) T1=q_В; 2) Т₂=2К. Характеристическую температуру Дебая q_D для NaCI принять равной 320 К.

Решение. Количество теплоты DQ, подводимое для нагревания тела от температуры t₁ до t₂, Может быть вычислено по формуле

, (1)

где С - теплоемкость тела (системы)

Теплоемкость тела связана с молярной теплоёмкостью C_m соотношением С=(m/М) C_m, где m-масса тела; М-молярная масса. Подставив это выражение С в формулу (1), получим

. (2)

В общем случае C_m есть функция температуры, поэтому за знак Интеграла ее выносить нельзя. Однако в первом случае изменением теплоемкости по сравнению с ее значением при температуре Т, можно пренебречь и считать ее на всем интервале температур DT постоянной и равной C_m(Т₁). Ввиду этого формула (2) примет вид

DQ=(m/M)C_m(Т₁)DT. (3)

Молярная теплоёмкость C_m(Т₁) в теории Дебая выражается формулой

.

В первом случае при Т₁=q интеграл

и, следовательно,

C_m =2,87R.

Подставляя это значение C_m в формулу (3),получим

DQ=2,87(m/M)RDT. (4)

Произведя вычисление по формуле (4), найдём

DQ=16,3Дж.

Во втором случае (Т<<q_D) нахождение DQ облегчается тем, что можно воспользоваться предельным законом Дебая, в согласии с которым теплоемкость пропорциональна кубу абсолютной температуры. В этом случае теплоемкость сильно изменяется в пределах заданного интервала температур и ее нельзя выносить за знак интеграла в формуле (2)

Используя выражение предельного закона Дебая

,

получим

Выполним интегрирование:

. (5)

С учетом того, что Т₂+DТ=2Т₂, выражение (5) примет вид

,

или

.

Подставив в последнюю формулу значения величин p, m, M, R, Т и q_В произведя вычисления, найдём DQ=1,22мДж.

Пример 10. Молярная изохорная теплоемкость аргона при температуре 4 К равна 0,174 Дж/(моль∙К). Определить значение молярной изохорной теплоемкости аргона при температуре 2 К.

Решение. Согласно теории Дебая, теплоемкость кристаллической решетки при низких температурах Т, когда Т<<θ_D, где θ_D – характеристическая температура Дебая, пропорциональна кубу термодинамической температуры,

. (1)

При высоких температурах, когда Т>>θ_D, теплоемкость кристаллической решетки описывается законом Дюлонга и Пти

С=3R = 25 Дж/(моль∙К). (2)

Так как при Т₁=4 К теплоемкость аргона С₁=0,174 Дж/(моль∙К) много меньше, чем 3R = 25 Дж/(моль∙К), выполняется закон Т³ Дебая, согласно которому

, , (3)

или

. (4)

Подставляя числовые данные в (4), получим

С₂=0,022 Дж/(моль∙К).

Пример 11. Дебаевская температура кристалла равна 150 К. Определить максимальную частоту колебаний кристаллической решетки. Сколько фотонов такой же частоты возбуждается в среднем в кристалле при температуре 300 К.

Решение. Дебаевская температура

, (1)

где ν_max – максимальная частота колебаний кристаллической решетки, h=6,625∙10^-34 Дж∙с, k=1,38∙10^-23Дж/К – постоянная Больцмана.

Из (1) найдем

. (2)

Подставляя в (2) числовые значения, получаем

.

Среднее число фотонов с энергией ε_i:

. (3)

Энергия фотона, соответствующая частоте колебаний ν_max,

ε_i=h∙ν=k∙θ_D. (4)

Подставляя (4) в (3),

,

.

Пример 12. Определить число п узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной кубической решетке.

Решение. Выделим элементарную ячейку в кубической ре­шетке (рис. 1) и определим, скольким соседним элементарным ячейкам принадлежит тот или иной узел выделенной ячейки. В этой ячейке имеются узлы двух типов: А (находящиеся в вершинах куба) и В (нахо­дящиеся на гранях куба в точке пересечения диагона­лей).

Узел А принадлежит одно­временно восьми элементар­ным ячейкам. Следовательно, в данную ячейку узел А вхо­дит с долей 1/8. Узел В вхо­дит одновременно только в две ячейки и, следовательно, в данную ячейку узел В входит с долей 1/2. Если учесть, что число узлов

типа А в ячейке равно восьми, Рис. 1

а число узлов типа В равно шести, т. е. числу граней, то общее число узлов, приходящихся на одну элементарную ячей­ку в гранецентрированной решетке,

n = (1/8)×8 + (1/2)×6 = 1 + 3 = 4 узла.

Так как число узлов равно числу атомов, то в соответствующей структуре на элементарную ячейку приходится четыре атома.

Пример 13. Определить параметр а решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла кальция (решет­ка гранецентрированная кубической сингонии). Плотность r кри­сталла кальция равна 1,55×10³ кг/м³.

Решение. Параметр а кубической решетки связан с объемом элементарной ячейки соотношением V = а ³. С другой стороны, объем элементарной ячейки равен отношению молярного объема к числу элементарных ячеек в одном моле кристалла: V = V_m/Z_m. Приравняв правые части приведенных выражений для V найдем

a³ = V_m / Z _m (1)

Молярный объем кальция V_m = M/ r, где r — плотность кальция; М — его молярная масса. Число элементарных ячеек в одном моле

Z_m =N_A/n,

где п — число атомов, приходящихся на одну ячейку. Подставив в формулу (1) приведенные выражения для V _m и Z _m, получим

a ³= nM /(r N_A)

Отсюда

(2)

Подставим значения величин п, М, r и N_A в формулу (2), учи­тывая, что п = 4. Произведя вычисления, найдем

а =556 пм.

Расстояние d между ближайши­ми соседними атомами находится из простых геометрических сооб­ражений, ясных из рис. 2:

.

Подставив в это выражение най­денное ранее значение а, получим d =393 пм.

Пример 14. Кусок металла объёма V=20 см³ находится при температуре Т=0. Определить число ΔN свободных электронов, импульсы которых отличаются от максимального импульса рmax не более чем на 0,1 р_max. Энергия Ферми e_ƒ=5эВ.

Решение. Для того чтобы установить распределение свободных электронов в металле по импульсам, воспользуемся распределением Ферми для свободных электронов при T=0:

(1)

Так как dn(e) есть число электронов в единице объема, энергии которых заключены в интервале значений от e до e+de (e<e_ƒ), то оно должно быть равно числу электронов dn(p) в единице объема, заключённых в интервале значений импульса от р до p+dp, т. е.

dn(р)=dn(e). (2)

При этом должно соблюдаться следующее условие. Данной энергии e соответствует определенный импульс р(e_ƒ=p²(2m)) и интервалу энергий de отвечает соответствующий ему интервал импульсов

.

Заметив, что e^1/2=p/(2m)^1/2, подставим в правую часть равенства (2) вместо dn(e) выражение (1) с заменой e на р и

de на dp в соответствии с полученными соотношениями, т. е.

.

После сокращений получим искомое распределение свободных электронов в металле по импульсам при Т=0:

.

Число электронов в единице объема, импульсы которых заключены в интервале от р_max –0,1 р_max до р_max, найдем интегрированием в соответствующих пределах:

, или .

Учитывая, что максимальный импульс рmax и максимальная энергия e электронов и металле (при Т=0) связаны соотношением р²_max=2me_ƒ, найдём искомое число ΔN свободных электронов в металле:

, или ,

Подставив значения величин p, m, e_ƒ, ћ и V и произведя вычисления (5эВ=8·10^-19Дж), получим ΔN=2,9·10²³ электронов.

Таблица вариантов

Вариант	Номера задач

Дата добавления: 2015-03-31