Центральная предельная теорема

Выборочный метод

Метод статистического исследования, состоящий в том, что на основе изучения выборочной совокупности делается заключение о всей генеральной совокупности, называется выборочным.

Для получения хороших оценок характеристик генеральной совокупности необходимо, чтобы выборка была репрезентативной (или представительной), т. е. достаточно полно представлять изучаемые признаки генеральной совокупности. Условием обеспечения репрезентативности выборки является, согласно закону больших чисел, соблюдение случайности отбора, т. е. все объекты генеральной совокупности должны имеет равные вероятности попасти в выборку.

Различают выборки с возвращением (повторные) и без возвращения (бесповторные). В первом случае отобранный объект возвращается в генеральную совокупность перед извлечением следующего; во втором – не возвращается. На практике чаще используется бесповторная выборка.

Заметим, если объем выборки значительно меньше объема генеральной совокупности, различие между повторной и бесповторной выборками очень мало, его можно не учитывать.

В зависимости от конкретных условий для обеспечения репрезентативности применяют различные способы отбора: простой, при котором из генеральной совокупности извлекают по одному объекту; типический при котором генеральную совокупность делят на «типические» части и отбор осуществляется из каждой части (например, мнение о референдуме спросить у случайно отобранных людей, разделенных по признаку пола, возраста,…); механический, при котором отбор производится через определенный интервал (например, мнение спросить у каждого шестидесятого…); серийный, при котором объекты из генеральной совокупности отбираются «сериями», которые должны исследоваться при помощи сплошного обследования.

На практике пользуются сочетанием вышеупомянутых способов отбора.

Многие задачи ТВ связаны с изучением суммы независимых случайных величин, которая при определенных условиях имеет распределение, близкое к нормальному. Эти условия выражаются центральной предельной теоремой:

Пусть ₁, ₂,…, _n,… – последовательность независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии. Обозначим = ₁ + ₂ +…+ _n. Говорят, что к последовательности ₁, ₂,…, _n,… применима ЦТП, если при закон распределения стремится к нормальному. Частным случаем ЦТП является интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа

Пусть , . Ранее показано, что и Тогда

Суть ЦТП: при неограниченном увеличении числа случайных величин закон распределения суммы стремится к нормальному.

29. Точечное оценивание

Пусть вид распределения изучаемого признака Х известен , но неизвестно значение входящего параметра (тета).

Статистической оценкой называется любая функция выборки

= f(x₁,x₂,…,x_n.).

Точечной оценкой называется оценка, которая дается одним числом.

Для того, чтобы статистическая оценка давала хорошее приближение к оцениваемому параметру , она должна удовлетворять определенным требованиям: несмещенность, состоятельность и эффективность.Оценка называется несмещенной, если ее матожидание равно оцениваемому параметру .Примеромнесмещенной оценки являетсявыборочное среднее для матожидания. Докажем это. Выборочное значение можно рассматривать как независимые случайные величины, взятые из одного и того же распределения. Пусть

.

Примером смещенной оценки является выборочная дисперсия для теоретической дисперсии, можно показать, что .

Для того, чтобы получить несмещенную оценку вводится понятие исправленной выборочной дисперсии.

.

Оценка параметра называется состоятельной, если для любого

Состоятельность оценки означает, что при большом объеме выборки оценка приближается к истинному значению параметра (чем больше n, тем точнее оценка).

Оценки, обладающие свойством несмещенности и состоятельности, при ограниченном объеме выборки могут отличатся дисперсиями.

Чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность ошибки при вычислении Поэтому целесообразно, чтобы дисперсия оценки была минимальной, т.е. чтобы выполнялось условие

Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной.

Дата добавления: 2015-03-31