Распределение Пуассона

Если число np-q - целое, то существует два наивероятнейших числа

Наивероятнейшее число успехов.

Число m, при котором биномиальные вероятности P_n(m) достигают своего максимального значения (при фиксированном числе испытаний n) называют обычно наиболее вероятным (наивероятнейшим) числом успехов. Справедливо следующее утверждение о наивероятнейшим числе успехов:

Наивероятнейшее число успехов m* в серии из n независимых испытаний Бернулли (с вероятностью успеха р в одном испытании) определяется соотношением np-q£m*£np+p, причем

1. если число np-q - дробное, то существует одно наивероятнейшее число m*;

m*=np-q, m*=np+p;

3. если np - целое число, то наивероятнейшее число m*=np.

Задача 3. Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов (выпадений герба).

Решение. Возможными значениями для числа успехов в 3-х рассматриваемых испытаниях являются m = 0, 1, 2 или 3. Пусть A_m - событие, состоящее в том, что при 3-х подбрасываниях монеты герб появляется m раз. По формуле Бернулли легко найти вероятности событий A_m (см. таблицу):

m
Pn(m)	1/8	3/8	3/8	1/8

Из этой таблицы видно, что наиболее вероятными значениями являются числа 1 и 2 (их вероятности равны 3/8). Этот же результат можно получить и из приведенного выше утверждения.

Задача 4. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна ¾. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их количество равно 10.

Решение. В этом примере n=10, p=3/4=0,75, q=1/4=0,25. Тогда неравенство для наиболее вероятного числа успехов выглядит так:

np-q£m*£np+p,

т.е. 10*0,75-0,25 £m*£10*0,75+0,75,

или 7,25£m*£8,25.

Существует только одно целое решение этого неравенства, а именно, m*=8.

28. В каких случаях применяют формулу Пуассона? (Показать на примерах)

Распределение Пуассона, подобно биномиальному распределению, связано с подсчетом количества наступления некоторого события. Отличие состоит в том, что в случае распределения Пуассона нет заданного числа возможных попыток n. Вот один из примеров возникновения такой случайной величины. Если неко­торое событие происходит случайно и независимо в каждой из попыток и сред­нее число наступлений события с ростом числа попыток не изменяется, то коли­чество наступлений события в фиксированном количестве попыток будет подчи­няться распределению Пуассона. Распределение Пуассона — это распределение дискретной величины, которое зависит только от ожидаемого среднего количест­ва наступлений события.

Приведем примеры некоторых случайных величин, которые могут иметь рас­пределение Пуассона.

1. Количество заказов, которые фирма получит завтра.

2. Количество дефектов в произведенной продукции.

3. Биномиально распределенная величина X при больших n и малых p.

Дата добавления: 2015-04-23