Основные методы экологических исследований 13 страница

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях на­чаль­но­го на­пря­же­ния на кон­ден­са­то­ре кВ, со­про­тив­ле­ния ре­зи­сто­ра Ом и ёмко­сти кон­ден­са­то­ра Ф:

кВ.

Ответ: 2.

13. B 13. Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 60. Пло­щадь одной его грани равна 12. Най­ди­те ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где — пло­щадь грани, а — вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Тогда

Ответ: 5.

14. B 14. Пер­вые 190 км ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 50 км/ч, сле­ду­ю­щие 180 км — со ско­ро­стью 90 км/ч, а затем 170 км — со ско­ро­стью 100 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Чтобы найти сред­нюю ско­рость на про­тя­же­нии пути, нужно весь путь раз­де­лить на все время дви­же­ния. Сред­няя ско­рость ав­то­мо­би­ля равна

км/ч.

Ответ: 72.

15. B 15. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

.

Ответ: −6.

16. C 1. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти от­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

17. C 2. Длины ребер BC, BB ₁ и BA пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁равны со­от­вет­ствен­но 8, 12 и 9. Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D ₁ до пря­мой A ₁C.

Ре­ше­ние.

Опу­стим из точки D₁ пер­пен­ди­ку­ляр D₁E на пря­мую A₁C. Так как то а, зна­чит, от­ре­зок D₁E ― вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка A₁CD₁, от­ку­да Далее на­хо­дим:

Ответ:

18. C 3. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Ре­ше­ние.

1. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Пусть тогда не­ра­вен­ство при­мет вид: от­ку­да

Ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства ис­ход­ной си­сте­мы:

2. Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

где

Ре­ше­ние вто­ро­го не­ра­вен­ства ис­ход­ной си­сте­мы:

3. По­сколь­ку по­лу­ча­ем ре­ше­ние ис­ход­ной си­сте­мы не­ра­венств:

Ответ:

19. C 4. Дан тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 115, 115 и 184. Внут­ри него рас­по­ло­же­ны две рав­ные ка­са­ю­щи­е­ся окруж­но­сти, каж­дая из ко­то­рых ка­са­ет­ся двух сто­рон тре­уголь­ни­ка. Най­ди­те ра­ди­у­сы окруж­но­стей.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник , в ко­то­ром , Пусть — вы­со­та тре­уголь­ни­ка Тогда — се­ре­ди­на

Обо­зна­чим Тогда

Пред­по­ло­жим, что окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром впи­са­на в угол и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния в точке а окруж­ность того же ра­ди­у­са с цен­тром впи­са­на в угол ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния в точке а пер­вой окруж­но­сти — в точке Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му

а

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Тогда

Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му зна­чит, по­сколь­ку — пря­мо­уголь­ник. Сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да на­хо­дим

Пусть те­перь окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром впи­са­на в угол и ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны в точке вто­рая окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром впи­са­на в угол , ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны в точке а также ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти.

Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков и на­хо­дим:

Сле­до­ва­тель­но,

,

от­ку­да на­хо­дим .

В слу­чае, когда окруж­но­сти впи­са­ны в углы и по­лу­чим тот же ре­зуль­тат.

Ответ: 23 или 20.

20. C 5. Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

Ре­ше­ние.

За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде

Пусть t = cos x, тогда ис­ход­ное урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, если урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий от­рез­ку [−1; 1]. Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх,

сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий от­рез­ку [−1; 1], либо при усло­вии (рис. 1) от­ку­да либо при усло­вии (рис. 2) от­ку­да

Ответ:

21. C 6. Моток ве­рев­ки режут без остат­ка на куски дли­ной не мень­ше 99 см, но не боль­ше 102 см (на­зо­вем такие куски стан­дарт­ны­ми).

а) Не­ко­то­рый моток ве­рев­ки раз­ре­за­ли на 33 стан­дарт­ных куска, среди ко­то­рых есть куски раз­ной длины. На какое наи­боль­шее число стан­дарт­ных оди­на­ко­вых кус­ков можно было бы раз­ре­зать тот же моток ве­рев­ки?

б) Най­ди­те такое наи­мень­шее число , что любой моток ве­рев­ки, длина ко­то­ро­го боль­ше см, можно раз­ре­зать на стан­дарт­ные куски.

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние каж­до­го пунк­та со­сто­ит из двух ча­стей: оцен­ка и при­мер.

Рас­смот­рим моток ве­рев­ки дли­ной см. Усло­вие того, что его можно раз­ре­зать на стан­дарт­ных кус­ков, за­пи­сы­ва­ет­ся в виде или

а) В дан­ном слу­чае имеем (не­ра­вен­ства стро­гие, по­сколь­ку среди кус­ков есть не­рав­ные). Пусть эту ве­рев­ку можно раз­ре­зать на стан­дарт­ных кус­ков, тогда При по­лу­ча­ем

т.е. этот моток ве­рев­ки нель­зя раз­ре­зать боль­ше, чем на 33 стан­дарт­ных куска.

При по­лу­ча­ем Зна­чит, эту ве­рев­ку можно раз­ре­зать на 33 оди­на­ко­вых стан­дарт­ных куска, но нель­зя раз­ре­зать на боль­шее ко­ли­че­ство стан­дарт­ных кус­ков.

б) От­рез­ки и яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми не­ра­венств и имеют общие точки для всех при ко­то­рых то есть при Зна­чит, любую ве­рев­ку дли­ной см или более можно раз­ре­зать на стан­дарт­ные куски.

До­ка­жем, что ве­рев­ку, длина ко­то­рой боль­ше см, но мень­ше см, нель­зя раз­ре­зать на стан­дарт­ных кус­ков ни для ка­ко­го При по­лу­ча­ем что про­ти­во­ре­чит усло­вию При по­лу­ча­ем что про­ти­во­ре­чит усло­вию Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число равно 3267.

Ответ: а) 33; б) 3267.

Вариант № 17

Шо­ко­лад­ка стоит 40 руб­лей. В вос­кре­се­нье в су­пер­мар­ке­те дей­ству­ет спе­ци­аль­ное пред­ло­же­ние: за­пла­тив за две шо­ко­лад­ки, по­ку­па­тель по­лу­ча­ет три (одну в по­да­рок). Сколь­ко шо­ко­ла­док можно по­лу­чить на 320 руб­лей в вос­кре­се­нье?

Ре­ше­ние.

На 320 руб­лей можно ку­пить 8 шо­ко­ла­док по 40 руб­лей. Еще 4 будут даны в по­да­рок. Всего можно будет по­лу­чить 12 шо­ко­ла­док.

Ответ: 12.

2. B 2. Же­лез­но­до­рож­ный билет для взрос­ло­го стоит 720 руб­лей. Сто­и­мость би­ле­та для школь­ни­ка со­став­ля­ет 50% от сто­и­мо­сти би­ле­та для взрос­ло­го. Груп­па со­сто­ит из 15 школь­ни­ков и 2 взрос­лых. Сколь­ко руб­лей стоят би­ле­ты на всю груп­пу?

Ре­ше­ние.

Билет для ре­бен­ка стоит 720 0,5 = 360 руб. Сто­и­мость би­ле­тов на 15 школь­ни­ков и двух взрос­лых со­став­ля­ет
360 15 + 720 2 = 5400 + 1440 = 6840 руб.

Ответ: 6840.

3. B 3. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти в те­че­ние каж­до­го часа 8 де­каб­ря 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся номер часа, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта за дан­ный час. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме раз­ность наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го ко­ли­че­ства по­се­ти­те­лей за час в дан­ный день.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что наи­боль­шее и наи­мень­шее ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей со­ста­ви­ли 80 000 и 10 000 со­от­вет­ствен­но (см. ри­су­нок). Их раз­ность: 70 000 че­ло­век.

Ответ: 70 000.

4. B 4. Вася за­гру­жа­ет на свой ком­пью­тер из Ин­тер­не­та файл раз­ме­ром 30 Мб за 28 се­кунд. Петя за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 28 Мб за 24 се­кун­ды, а Миша за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 38 Мб за 32 се­кун­ды. Сколь­ко се­кунд будет за­гру­жать­ся файл раз­ме­ром 665 Мб на ком­пью­тер с наи­боль­шей ско­ро­стью за­груз­ки?

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим все слу­чаи.

Ско­рость ин­тер­не­та Васи со­став­ля­ет Мб/с.

Ско­рость ин­тер­не­та Пети со­став­ля­ет Мб/с.

Ско­рость ин­тер­не­та Миши со­став­ля­ет Мб/с.

По­сколь­ку , с наи­боль­шей ско­ро­стью может ска­чать файл Миша. На ска­чи­ва­ние 665 Мб ему по­на­до­бит­ся

с.

Ответ: 560.

5. B 5. Най­ди­те вы­со­ту па­рал­ле­ло­грам­ма , опу­щен­ную на сто­ро­ну , если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

Ре­ше­ние.

про­ве­дем вы­со­ту из вер­ши­ны . По ри­сун­ку на­хо­дим ее вы­со­ту.

Ответ: 4.

6. B 6. Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Физик» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Физик» вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раза.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим «1» ту сто­ро­ну мо­не­ты, ко­то­рая от­ве­ча­ет за вы­иг­рыш жре­бия «Фи­зи­ком», дру­гую сто­ро­ну мо­не­ты обо­зна­чим «0». Тогда бла­го­при­ят­ных ком­би­на­ций три: 110, 101, 011, а всего ком­би­на­ций 2³ = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,375.

7. B 7. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

Если две дроби с рав­ным чис­ли­те­лем равны, то равны их зна­ме­на­те­ли. Имеем

Ответ:7.

8. B 8. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 15 и 9, один из углов равен . Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем вы­со­ту .

.

Ответ: 3.

9. B 9. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна 0.

Ре­ше­ние.

Про­из­вод­ная изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке функ­ции f(x) равна нулю в точ­ках экс­тре­му­мов: −3,7; 1,4; 2,6 и 4,2. Про­из­вод­ная равна нулю в 4 точ­ках.

Ответ: 4.

10. B 10.

Ци­линдр опи­сан около шара. Объем ци­лин­дра равен 33. Най­ди­те объем шара.

Ре­ше­ние.

,

Вы­ра­зим из фор­му­лы для объёма ци­лин­дра и под­ста­вим в фор­му­лу для объёма шара

Ответ: 22.

11. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Сход­ствен­ные функ­ции до­пол­ни­тель­ных углов равны. По­это­му

.

Ответ: 7.

12. B 12. Мо­то­цик­лист, дви­жу­щий­ся по го­ро­ду со ско­ро­стью км/ч, вы­ез­жа­ет из него и сразу после вы­ез­да на­чи­на­ет раз­го­нять­ся с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем км/ч . Рас­сто­я­ние от мо­то­цик­ли­ста до го­ро­да, из­ме­ря­е­мое в ки­ло­мет­рах, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем . Опре­де­ли­те наи­боль­шее время, в те­че­ние ко­то­ро­го мо­то­цик­лист будет на­хо­дить­ся в зоне функ­ци­о­ни­ро­ва­ния со­то­вой связи, если опе­ра­тор га­ран­ти­ру­ет по­кры­тие на рас­сто­я­нии не далее чем в 30 км от го­ро­да. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

Ре­ше­ние.

Мо­то­цик­лист будет на­хо­дить­ся в зоне функ­ци­о­ни­ро­ва­ния со­то­вой связи, если км. За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию наи­боль­ше­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства км при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров и :

Учи­ты­вая то, что время – не­от­ри­ца­тель­ная ве­ли­чи­на, по­лу­ча­ем ч, то есть мин.

Ответ: 30.

13. B 13. Пло­щадь грани пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 12. Ребро, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани, равно 4. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где – пло­щадь грани, а — вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Имеем

.

Ответ: 48.

14. B 14. Сме­шав 30-про­цент­ный и 60-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 36-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 41-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 30-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Ре­ше­ние.

Пусть масса 30-про­цент­но­го рас­тво­ра кис­ло­ты – кг, а масса 60-про­цент­но­го – . Если сме­шать 30-про­цент­ный и 60-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вить кг чи­стой воды, по­лу­чит­ся 36-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты: . Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 41-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты: . Решим по­лу­чен­ную си­сте­му урав­не­ний:

Дата добавления: 2015-04-23