Основные методы экологических исследований 12 страница

Это озна­ча­ет, что по про­ше­ствии 20 минут вся вода вы­те­чет из бака.

Ответ: 20.

13. B 13. В тре­уголь­ной приз­ме две бо­ко­вые грани пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Их общее ребро равно 10 и от­сто­ит от дру­гих бо­ко­вых ребер на 6 и 8. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этой приз­мы.

Ре­ше­ние.

Для вы­чис­ле­ния бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой, где – длина бо­ко­во­го ребра, а – пе­ри­метр пер­пен­ди­ку­ляр­но­го се­че­ния приз­мы:

.

Ответ: 240.

14. B 14. Митя, Антон, Гоша и Борис учре­ди­ли ком­па­нию с устав­ным ка­пи­та­лом 200 000 руб­лей. Митя внес 14% устав­но­го ка­пи­та­ла, Антон – 42 000 руб­лей, Гоша – 12% устав­но­го ка­пи­та­ла, а остав­шу­ю­ся часть ка­пи­та­ла внес Борис. Учре­ди­те­ли до­го­во­ри­лись де­лить еже­год­ную при­быль про­пор­ци­о­наль­но вне­сен­но­му в устав­ной ка­пи­тал вкла­ду. Какая сумма от при­бы­ли 1 000 000 руб­лей при­чи­та­ет­ся Бо­ри­су? Ответ дайте в руб­лях.

Ре­ше­ние.

Антон внес устав­но­го ка­пи­та­ла. Тогда Борис внес устав­но­го ка­пи­та­ла. Таким об­ра­зом, от при­бы­ли 1000000 руб­лей Бо­ри­су при­чи­та­ет­ся руб­лей.

Ответ: 530000.

15. B 15. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

.

Ответ: −6.

16. C 1. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние, по­лу­ча­ем Зна­чит, или где В пер­вом слу­чае во вто­ром слу­чае где Пер­вая серия ре­ше­ний вхо­дит во вто­рую.

б) От­ме­тим ре­ше­ния на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. От­рез­ку при­над­ле­жат корни и

Ответ: а)

б)

17. C 2. Плос­кость пе­ре­се­ка­ет два шара, име­ю­щих общий центр. Пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара этой плос­ко­стью равна Плос­кость па­рал­лель­ная плос­ко­сти ка­са­ет­ся мень­ше­го шара, а пло­щадь се­че­ния этой плос­ко­стью боль­ше­го шара равна Най­ди­те пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние.

Се­че­ние шара плос­ко­стью — круг. Рас­смот­рим се­че­ние, про­хо­дя­щее через общий центр шаров и цен­тры кру­гов.

Обо­зна­че­ние цен­тра, точки ка­са­ния и точек пе­ре­се­че­ния по­верх­но­стей шаров с плос­ко­стя­ми и дано на ри­сун­ке.

— ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии мень­ше­го шара плос­ко­стью тогда — пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара плос­ко­стью .

— ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью тогда — пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью

— ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью Па­рал­лель­ные пря­мые и пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ем: от­ку­да

Пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью

Ответ: 10.

18. C 3. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Сде­ла­ем за­ме­ну , тогда:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной. Имеем:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Ис­поль­зуя фор­му­лу , по­лу­ча­ем:

Тем самым, ре­ше­ни­я­ми ис­ход­ной си­сте­мы не­ра­венств яв­ля­ют­ся

Ответ:

19. C 4. Бо­ко­вые сто­ро­ны и тра­пе­ции равны 8 и 17 со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей, равен 7,5, сред­няя линия тра­пе­ции равна 17,5. Пря­мые и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник .

Ре­ше­ние.

В любой тра­пе­ции от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей тра­пе­ции, равен по­лу­раз­но­сти ос­но­ва­ний тра­пе­ции, а сред­няя линия — по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний тра­пе­ции. В нашем слу­чае по­лу­раз­ность ос­но­ва­ний равна 7,5, а по­лу­сум­ма ос­но­ва­ний равна 17,5, по­это­му ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 10 и 25.

Пред­по­ло­жим, что , (рис. 1). Сто­ро­ны и тре­уголь­ни­ков и па­рал­лель­ны, по­это­му эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том . Зна­чит,

.

За­ме­тим, что , по­это­му тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный с ги­по­те­ну­зой . Ра­ди­ус его впи­сан­ной окруж­но­сти равен:

.

Пусть те­перь , (рис. 2). Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю можно по­ка­зать, что ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка равен 5. Тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том . Зна­чит, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка равен .

Ответ: 2; 5.

20. C 5. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний имеет ровно два ре­ше­ния.

Ре­ше­ние.

За­ме­ним пер­вое урав­не­ние раз­но­стью, а вто­рое — сум­мой ис­ход­ных урав­не­ний:

При вто­рое урав­не­ние си­сте­мы, а, зна­чит, и вся си­сте­ма ре­ше­ний не имеет. При по­лу­ча­ем:

Ясно (см. ри­су­нок), что при си­сте­ма имеет че­ты­ре ре­ше­ния (ко­ор­ди­на­ты точек A, B, C и D), а при — два ре­ше­ния (ко­ор­ди­на­ты точек M и N).

Ответ: .

21. C 6. Дано трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число (число не может на­чи­нать­ся с нуля), не крат­ное 100.

а) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 90?

б) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 88?

в) Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр?

Ре­ше­ние.

Пусть дан­ное число равно где и — цифры сотен, де­сят­ков и еди­ниц со­от­вет­ствен­но. Если част­ное этого числа и суммы его цифр равно то вы­пол­не­но

а) Если част­ное равно 90, то что верно, на­при­мер, при част­ное числа 810 и суммы его цифр равно 90.

б) Если част­ное равно 88, то . По­лу­ча­ем: Зна­чит, или Но ни 78, ни 87 не де­лит­ся на 12. Зна­чит, част­ное трёхзнач­но­го числа и суммы его цифр не может быть рав­ным 88.

в) Пусть k — наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние част­но­го числа, не крат­но­го 100, и суммы его цифр. Тогда

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем:

от­ку­да

Част­ное числа 910 и суммы его цифр равно 91. Зна­чит, наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние част­но­го трёхзнач­но­го числа, не крат­но­го 100, и суммы его цифр равно 91.

Ответ: а) да; б) нет; в) 91.

Вариант № 16

1. B 1. Поезд Но­во­си­бирск-Крас­но­ярск от­прав­ля­ет­ся в 15:20, а при­бы­ва­ет в 4:20 на сле­ду­ю­щий день (время мос­ков­ское). Сколь­ко часов поезд на­хо­дит­ся в пути?

Ре­ше­ние.

В день от­прав­ле­ния поезд едет (24-15) 60 − 20 = 9 60-20 = 520 минут, а на сле­ду­ю­щий день до мо­мен­та при­бы­тия он едет 4 60 + 20 = 260 минут. Всего в пути поезд про­ве­дет 520 + 260 = 780 минут. Раз­де­лим 780 на 60:

.

Зна­чит, поезд на­хо­дит­ся в пути 13 часов.

Ответ: 13.

При­ме­ча­ние.

Через 12 часов от мо­мен­та от­прав­ле­ния по­ез­да будет 3:20, зна­чит, поезд идет 13 часов.

2. B 2. Ма­га­зин за­ку­па­ет цве­точ­ные горш­ки по опто­вой цене 120 руб­лей за штуку и про­да­ет с на­цен­кой 20%. Какое наи­боль­шее число таких горш­ков можно ку­пить в этом ма­га­зи­не на 1000 руб­лей?

Ре­ше­ние.

С уче­том на­цен­ки гор­шок ста­нет сто­ить 120 + 0,2 120 = 144 рубля. Раз­де­лим 1000 на 144:

.

Зна­чит, можно будет ку­пить 6 горш­ков.

Ответ: 6.

3. B 3. На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трех суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей тем­пе­ра­ту­рой воз­ду­ха 15 июля. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что 15 июля наи­боль­шая тем­пе­ра­ту­ра со­став­ля­ла 21 °C, а наи­мень­шая 8 °C. Их раз­ность со­став­ля­ет 13 °C.

Ответ: 13.

4. B 4. Вася за­гру­жа­ет на свой ком­пью­тер из Ин­тер­не­та файл раз­ме­ром 30 Мб за 28 се­кунд. Петя за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 28 Мб за 24 се­кун­ды, а Миша за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 38 Мб за 32 се­кун­ды. Сколь­ко се­кунд будет за­гру­жать­ся файл раз­ме­ром 665 Мб на ком­пью­тер с наи­боль­шей ско­ро­стью за­груз­ки?

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим все слу­чаи.

Ско­рость ин­тер­не­та Васи со­став­ля­ет Мб/с.

Ско­рость ин­тер­не­та Пети со­став­ля­ет Мб/с.

Ско­рость ин­тер­не­та Миши со­став­ля­ет Мб/с.

По­сколь­ку , с наи­боль­шей ско­ро­стью может ска­чать файл Миша. На ска­чи­ва­ние 665 Мб ему по­на­до­бит­ся

с.

Ответ: 560.

5. B 5. В тре­уголь­ни­ке , – вы­со­та, угол равен . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, углы при его ос­но­ва­нии равны.

.

Ответ: 48.

6. B 6. Аг­ро­фир­ма за­ку­па­ет ку­ри­ные яйца в двух до­маш­них хо­зяй­ствах. 40% яиц из пер­во­го хо­зяй­ства — яйца выс­шей ка­те­го­рии, а из вто­ро­го хо­зяй­ства — 20% яиц выс­шей ка­те­го­рии. Всего выс­шую ка­те­го­рию по­лу­ча­ет 35% яиц. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что яйцо, куп­лен­ное у этой аг­ро­фир­мы, ока­жет­ся из пер­во­го хо­зяй­ства.

Ре­ше­ние.

Пусть со­бы­тие со­сто­ит в том, что яйцо имеет выс­шую ка­те­го­рию, со­бы­тия и со­сто­ят в том, что яйцо про­из­ве­де­но в пер­вом и вто­ром хо­зяй­ствах со­от­вет­ствен­но. Тогда со­бы­тия и — со­бы­тия, со­сто­я­щие в том, что яйцо выс­шей ка­те­го­рии про­из­ве­де­но в пер­вом и вто­ром хо­зяй­стве со­от­вет­ствен­но. По фор­му­ле пол­ной ве­ро­ят­но­сти, ве­ро­ят­ность того, что будет куп­ле­но яйцо выс­шей ка­те­го­рии, равна:

По­сколь­ку по усло­вию эта ве­ро­ят­ность равна 0,35, по­это­му для ве­ро­ят­но­сти того, что куп­лен­ное яйцо про­из­ве­де­но в пер­вом хо­зяй­стве имеем:

При­ме­ча­ние Ивана Вы­соц­ко­го.

Это ре­ше­ние можно за­пи­сать ко­рот­ко. Пусть — ис­ко­мая ве­ро­ят­ность того, что куп­ле­но яйцо, про­из­ве­ден­ное в пер­вом хо­зяй­стве. Тогда — ве­ро­ят­ность того, что куп­ле­но яйцо, про­из­ве­ден­ное во вто­ром хо­зяй­стве. По фор­му­ле пол­ной ве­ро­ят­но­сти имеем:

Ответ: 0,75.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть в пер­вом хо­зяй­стве аг­ро­фир­ма за­ку­па­ет яиц, в том числе, яиц выс­шей ка­те­го­рии, а во вто­ром хо­зяй­стве — яиц, в том числе яиц выс­шей ка­те­го­рии. Тем самым, всего аг­ро­фор­ма за­ку­па­ет яиц, в том числе яиц выс­шей ка­те­го­рии. По усло­вию, выс­шую ка­те­го­рию имеют 35% яиц, тогда:

Сле­до­ва­тель­но, у пер­во­го хо­зяй­ства за­ку­па­ют в три раза боль­ше яиц, чем у вто­ро­го. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ное яйцо ока­жет­ся из пер­во­го хо­зяй­ства равна

7. B 7. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

.

Ответ: 12,5.

8. B 8. В тре­уголь­ни­ке , . Най­ди­те ко­си­нус внеш­не­го угла при вер­ши­не .

Ре­ше­ние.

Ответ: .

9. B 9. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и две­на­дцать точек на оси абс­цисс: , , , , . В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на?

Ре­ше­ние.

От­ри­ца­тель­ным зна­че­ни­ям про­из­вод­ной со­от­вет­ству­ют ин­тер­ва­лы, на ко­то­рых функ­ция убы­ва­ет. В этих ин­тер­ва­лах лежат точки Таких точек 7.

Ответ:7.

10. B 10 В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­но, что Най­ди­те длину ребра .

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Тогда длина ребра равна

Ответ: 5.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Квад­рат диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен сумме квад­ра­тов его из­ме­ре­ний: 36 = 4 + 7 + x ², от­ку­да ис­ко­мая длина ребра x равна 5.

11. B 11 № 26825. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 12.

12. B 12. Eмкость вы­со­ко­вольт­но­го кон­ден­са­то­ра в те­ле­ви­зо­ре Ф. Па­рал­лель­но с кон­ден­са­то­ром под­ключeн ре­зи­стор с со­про­тив­ле­ни­ем Ом. Во время ра­бо­ты те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре кВ. После вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре убы­ва­ет до зна­че­ния U (кВ) за время, опре­де­ля­е­мое вы­ра­же­ни­ем (с), где – по­сто­ян­ная. Опре­де­ли­те (в ки­ло­воль­тах), наи­боль­шее воз­мож­ное на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре, если после вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра про­шло не менее 21 с?

Дата добавления: 2015-04-23