Основные методы экологических исследований 11 страница

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ник – так же рав­но­бед­рен­ный, т.к. углы при ос­но­ва­нии . Тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен 6, и объем ко­ну­са, де­лен­ный на :

Ответ: 72.

14. B 14. Даша и Маша про­па­лы­ва­ют гряд­ку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколь­ко минут про­па­лы­ва­ет гряд­ку одна Даша?

Ре­ше­ние.

За ми­ну­ту Маша про­па­лы­ва­ет одну два­дца­тую гряд­ки, а Маша с Дашей вме­сте — одну две­на­дца­тую. По­это­му за одну ми­ну­ту Даша про­па­лы­ва­ет гряд­ки. Всю гряд­ку она про­по­лет за 30 минут.

Ответ: 30.

15. B 15. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

.

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: 4.

16. C 1. а) Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Ре­ше­ние.

а) За­пи­шем урав­не­ние в виде

.

Зна­чит, или , от­ку­да , , или , от­ку­да .

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку . По­лу­чим числа:

Ответ: а) , ; ; б)

17. C 2. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны , а бо­ко­вые рёбра равны . На ребре от­ме­че­на точка так, что . Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми и .

Ре­ше­ние.

Пря­мая пе­ре­се­ка­ет пря­мую в точке . Плос­ко­сти и пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой .

Из точки опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую , тогда от­ре­зок (про­ек­ция ) пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Угол яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми и .

По­сколь­ку , по­лу­ча­ем:

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков и на­хо­дим:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом : , , , от­ку­да вы­со­та

.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с пря­мым углом по­лу­ча­ем:

.

Ответ: .

18. C 3. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Ре­ше­ние.

1. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Рас­смот­рим два слу­чая. Пер­вый слу­чай:

от­ку­да

Вто­рой слу­чай:

от­ку­да

Ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства ис­ход­ной си­сте­мы:

2. Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Ре­ше­ние вто­ро­го не­ра­вен­ства ис­ход­ной си­сте­мы:

3. Пе­ре­се­кая про­ме­жут­ки, по­лу­ча­ем ре­ше­ние си­сте­мы не­ра­венств.

Ответ:

19. C 4. Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная бо­ко­вой сто­ро­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, от­се­ка­ет от него четырёхуголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если от­ре­зок пря­мой, за­ключённый внут­ри тре­уголь­ни­ка, равен , а от­но­ше­ние бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка к его ос­но­ва­нию равно .

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим дан­ный тре­уголь­ник , — ос­но­ва­ние, . За­ме­тим, что окруж­ность, о ко­то­рой го­во­рит­ся в усло­вии, — окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник Пусть — её центр, а — точка ка­са­ния с ос­но­ва­ни­ем

Обо­зна­чим

Так как — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка , то сле­до­ва­тель­но,

Рис. 1

Пер­вый слу­чай. Пусть пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­ная ка­са­ет­ся окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ет в точке , а в точке (рис. 1). Тогда ,

В тре­уголь­ни­ке имеем

У опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны:

от­ку­да на­хо­дим:

Рис. 2

Вто­рой слу­чай. Пусть пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­ная ка­са­ет­ся окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ет в точке , а в точке (рис. 2). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке имеем

У опи­сан­но­го четырёхуголь­ни­ка суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны:

,

от­ку­да на­хо­дим:

Ответ: или .

20. C 5. Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

Ре­ше­ние.

За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде

Пусть t = cos x, тогда ис­ход­ное урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, если урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий от­рез­ку [−1; 1]. Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх,

сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий от­рез­ку [−1; 1], либо при усло­вии (рис. 1) от­ку­да либо при усло­вии (рис. 2) от­ку­да

Ответ:

21. C 6. Каж­дый из груп­пы уча­щих­ся схо­дил в кино или в театр, при этом воз­мож­но, что кто-то из них мог схо­дить и в кино, и в театр. Из­вест­но, что в те­ат­ре маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших театр, а в кино маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших кино.

а) Могло ли быть в груп­пе 10 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

б) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков МОГЛО быть в груп­пе, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

в) Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа уча­щих­ся в груп­пе без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а и б?

Ре­ше­ние.

а) Если груп­па со­сто­ит из 3 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко театр, 7 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко кино, и 10 де­во­чек, схо­див­ших и в театр, и в кино, то усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но. Зна­чит, в груп­пе из 20 уча­щих­ся могло быть 10 маль­чи­ков.

б) Пред­по­ло­жим, что маль­чи­ков было 11 или боль­ше. Тогда де­во­чек было 9 или мень­ше. Театр по­се­ти­ло не более 3 маль­чи­ков, по­сколь­ку если бы их было 3 или боль­ше, то доля маль­чи­ков в те­ат­ре была бы не мень­ше , что боль­ше . Ана­ло­гич­но, кино по­се­ти­ло не более 7 маль­чи­ков, по­сколь­ку но тогда хотя бы один маль­чик не по­се­тил ни те­ат­ра, ни кино, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

В преды­ду­щем пунк­те было по­ка­за­но, что в груп­пе из 20 уча­щих­ся могло быть 10 маль­чи­ков. Зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков в груп­пе — 10.

в) Пред­по­ло­жим, что не­ко­то­рый маль­чик схо­дил и в театр, и в кино. Если бы вме­сто него в груп­пе при­сут­ство­ва­ло два маль­чи­ка, один из ко­то­рых по­се­тил толь­ко театр, а дру­гой — толь­ко кино, то доля маль­чи­ков и в те­ат­ре, и в кино оста­лась бы преж­ней, а общая доля де­во­чек стала бы мень­ше. Зна­чит, для оцен­ки наи­мень­шей доли де­во­чек в груп­пе можно счи­тать, что каж­дый маль­чик схо­дил или толь­ко в театр, или толь­ко в кино.

Пусть в груп­пе маль­чи­ков, по­се­тив­ших театр, маль­чи­ков, по­се­тив­ших кино, и де­во­чек. Оце­ним долю де­во­чек в этой груп­пе. Нулем счи­тать, что все де­воч­ки хо­ди­ли и в театр, и в кино, по­сколь­ку их доля в груп­пе от этого не из­ме­нит­ся, а доля в те­ат­ре и в кино не умень­шит­ся.

По усло­вию

зна­чит, Тогда , по­это­му доля де­во­чек в груп­пе:

Если груп­па со­сто­ит из 3 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко театр, 6 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко кино, и 8 де­во­чек, схо­див­ших и в театр, и в кино, то усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но, а доля де­во­чек в груп­пе равна .

Ответ: а) да: б) 10; в) .

ОТВЕТЫ Вариант № 15

1. B 1. Для при­го­тов­ле­ния ма­ри­на­да для огур­цов на 1 литр воды тре­бу­ет­ся 12 г ли­мон­ной кис­ло­ты. Ли­мон­ная кис­ло­та про­да­ет­ся в па­ке­ти­ках по 10 г. Какое наи­мень­шее число пачек нужно ку­пить хо­зяй­ке для при­го­тов­ле­ния 6 лит­ров ма­ри­на­да?

Ре­ше­ние.

Для при­го­тов­ле­ния 6 лит­ров ма­ри­на­да по­тре­бу­ет­ся 12 6 = 72 г ли­мон­ной кис­ло­ты. Раз­де­лим 72 на 10:

.

Зна­чит, нужно будет ку­пить 8 па­ке­ти­ков.

Ответ: 8.

2. B 2. 1 ки­ло­ватт-час элек­тро­энер­гии стоит 1 рубль 80 ко­пе­ек. Счет­чик элек­тро­энер­гии 1 но­яб­ря по­ка­зы­вал 12 625 ки­ло­ватт-часов, а 1 де­каб­ря по­ка­зы­вал 12 802 ки­ло­ватт-часа. Сколь­ко руб­лей нужно за­пла­тить за элек­тро­энер­гию за но­ябрь?

Ре­ше­ние.

Рас­ход элек­тро­энер­гии за но­ябрь со­став­ля­ет 12 802 − 12 625 = 177 ки­ло­ватт-часов. Зна­чит, за но­ябрь нужно за­пла­тить 1,8 177 = 318,6 рубля.

Ответ: 318,6.

3. B 3. Когда са­мо­лет на­хо­дит­ся в го­ри­зон­таль­ном по­ле­те, подъ­ем­ная сила, дей­ству­ю­щая на кры­лья, за­ви­сит толь­ко от ско­ро­сти. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на эта за­ви­си­мость для не­ко­то­ро­го са­мо­ле­та. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся ско­рость (в ки­ло­мет­рах в час), на оси ор­ди­нат — сила (в тон­нах силы). Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, чему равна подъ­ем­ная сила (в тон­нах силы) при ско­ро­сти 200 км/ч?

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что при ско­ро­сти 200 км в час дей­ству­ю­щая на кры­лья подъ­ем­ная сила равна одной тонне силы.

Ответ: 1.

4. B 4. Ин­тер­нет-про­вай­дер (ком­па­ния, ока­зы­ва­ю­щая услу­ги по под­клю­че­нию к сети Ин­тер­нет) пред­ла­га­ет три та­риф­ных плана.

Та­риф­ный план	Або­нент­ская плата	Плата за тра­фик
План «0»	Нет	2,5 руб. за 1 Мб
План «500»	550 руб. за 500 Мб тра­фи­ка в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб
План «800»	700 руб. за 800 Мб тра­фи­ка в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб

Поль­зо­ва­тель пред­по­ла­га­ет, что его тра­фик со­ста­вит 600 Мб в месяц и, ис­хо­дя из этого, вы­би­ра­ет наи­бо­лее де­ше­вый та­риф­ный план. Сколь­ко руб­лей за­пла­тит поль­зо­ва­тель за месяц, если его тра­фик дей­стви­тель­но будет равен 600 Мб?

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

По Плану «0» поль­зо­ва­тель по­тра­тит 2,5 600 = 1500 руб. в месяц за 600 Мб тра­фи­ка.

По плану «500» он по­тра­тит 550 руб. або­нент­ской платы за 500 Мб и 2 100 = 200 руб. сверх того. По­это­му пол­ная плата в месяц со­ста­вит 550 + 200 = 750 руб.

По плану «800» поль­зо­ва­тель по­тра­тит в месяц за 600 Мб тра­фи­ка 700 руб.

Наи­бо­лее вы­год­ный ва­ри­ант со­став­ля­ет 700 руб.

Ответ: 700.

5. B 5. В че­ты­рех­уголь­ник впи­са­на окруж­ность, , и . Най­ди­те чет­вер­тую сто­ро­ну че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

В че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда зна­чит,

Ответ: 14.

6. B 6. Стре­лок стре­ля­ет по ми­ше­ни один раз. В слу­чае про­ма­ха стре­лок де­ла­ет вто­рой вы­стрел по той же ми­ше­ни. Ве­ро­ят­ность по­пасть в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ми­шень будет по­ра­же­на (либо пер­вым, либо вто­рым вы­стре­лом).

Ре­ше­ние.

Пусть A — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на стрел­ком с пер­во­го вы­стре­ла, B — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на со вто­ро­го вы­стре­ла. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия A равна P (A) = 0,7. Со­бы­тие B на­сту­па­ет, если, стре­ляя пер­вый раз, стре­лок про­мах­нул­ся, а, стре­ляя вто­рой раз, попал. Это не­за­ви­си­мые со­бы­тия, их ве­ро­ят­ность равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P (B) = 0,3·0,7 = 0,21. Со­бы­тия A и B не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

P (A + B) = P (A) + P (B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.

Ответ: 0,91.

7. B 7. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Ре­ше­ние.

Из­ба­вим­ся от зна­ме­на­те­ля:

.

Ответ: 14.

8. B 8. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Угол опи­ра­ет­ся на окруж­но­сти, впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, зна­чит,

Ответ: 45.

9. B 9. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 4). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Ре­ше­ние.

Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния дан­ной функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых ее про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, то есть ин­тер­ва­лам (−7; −5,5), (−2,5; 4). Дан­ные ин­тер­ва­лы со­дер­жат целые точки –6, –2, –1, 0, 1, 2, 3. Их сумма равна –3.

Ответ: –3.

10. B 10. В куб впи­сан шар ра­ди­у­са 1. Най­ди­те объем куба.

Ре­ше­ние.

Ребро куба равно диа­мет­ру впи­сан­но­го в него шара, а объем куба равен кубу его ребра. От­сю­да имеем:

.

Ответ: 8.

11. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 7.

12. B 12. В бо­ко­вой стен­ке вы­со­ко­го ци­лин­дри­че­ско­го бака у са­мо­го дна за­креплeн кран. После его от­кры­тия вода на­чи­на­ет вы­те­кать из бака, при этом вы­со­та стол­ба воды в нeм, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну , где – на­чаль­ный уро­вень воды, м/мин², и м/мин по­сто­ян­ные, – время в ми­ну­тах, про­шед­шее с мо­мен­та от­кры­тия крана. В те­че­ние ка­ко­го вре­ме­ни вода будет вы­те­кать из бака? Ответ при­ве­ди­те в ми­ну­тах.

Ре­ше­ние.

Фор­му­лой, опи­сы­ва­ю­щей умень­ше­ние вы­со­ты стол­ба воды с те­че­ни­ем вре­ме­ни яв­ля­ет­ся

.

Вода будет вы­те­кать из бака, пока её на­чаль­ный уро­вень не по­ни­зит­ся до нуля. Опре­де­лим тре­бу­е­мое на это время, решая урав­не­ние :

Дата добавления: 2015-04-23