Разложение вектора по ортам

ОРТЫ

ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Векторы на плоскости и в пространстве можно складывать и умножать на числа. Сложение векторов производится по правилу параллелограмма: если привести векторы к общему началу, то их суммой будет вектор, имеющий то же начало и являющийся диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах. Произведением вектора на число l называется вектор l , коллинеарный вектору , направленный так же, как , если l > 0, и направленный в противоположную сторону, если l< 0, длина вектора l равна длине вектора , умноженной на .

Операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:

+ = +

+ ( + ) = ( + ) +

l (m ) = (l m)

(l + m) = l + m

l ( + ) = l + l

Если векторы и заданы своими координатами = () и

= (), то + = (), l = ().

Прямоугольная система координат(любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу. Такие орты составляют базис, притом ортонормированный.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются

, и

или

, и .

Могут также применяться обозначения со стрелками (, и или , и ) или другие в соответствии с обычным способом обозначения векторов в той или иной литературе.

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

• 
• 
• 

Для более высоких, чем 3, размерностей (или для общего случая, когда размерность может быть любой) обычно для ортов применяют вместо этого обозначения с числовыми индексами, достаточно часто это

где n - размерность пространства.

Вектор любой размерности раскладывается по базису (координаты служат коэффициентами разложения):

или

а для ортонормированного базиса координаты еще и очень легко найти через скалярные произведения с ортами:

Рассмотрим векторы , и единичной длины, направленные по осям координат. Эти три вектора (на плоскости два: и ) обладают тем свойством, что произвольный вектор может быть представлен в виде = (на плоскости = ). Эти равенства легко проверяются геометрическими построениями, поскольку на плоскости любой вектор является диагональю прямоугольника со сторонами, образованными векторами и , а в пространстве — диагональю прямоугольного параллелепипеда со сторонами , и .

№ 2. Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Угол между векторами. Условие ортогональности (перпендикулярности) векторов.

Дата добавления: 2015-04-24