Каноническое уравнение прямой на плоскости

Пусть даны точка М ₀ и вектор . Требуется найти уравнение прямой, проходящей через точку М ₀ параллельно вектору .

Возьмем на искомой прямой произвольную точку М и рассмотрим и — радиусы-векторы точек М и М ₀. Вектор лежит на прямой и, следовательно, коллинеарен вектору , что равносильно векторному равенству – = t.

Полученное уравнение называется векторным параметрическим уравнением прямой. Переписав это уравнение в координатной форме, получим параметрические

уравнения прямой , или . В полученных уравнениях x ₀ и y ₀ — координаты точки М ₀, а a ₁ и a ₂ — координаты вектора , который называется направляющим вектором прямой.

Если a ₁ и a ₂ отличны от нуля, то из параметрических уравнений получим и , что дает нам возможность получить каноническое уравнение прямой = , которое представляет собой условие пропорциональности координат коллинеарных векторов и . В силу последнего замечания каноническое уравнение прямой имеет смысл и в случае, когда одна из координат вектора равна 0. Например, уравнение = задает прямую, проходящую через точку М ₀ (1, –2) параллельно вектору = (0; 3), то есть вертикальную прямую.

Каноническое уравнение прямой удобно использовать для получения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Действительно, если заданы на прямой две точки M ₁ (x ₁, y ₁) и M ₂ (x ₂, y ₂), то вектор = , лежащий на прямой, можно использовать в качестве направляющего вектора. Тогда каноническое уравнение примет вид = . Получили уравнение прямой, проходящей через две точки.

Прямые, заданные каноническим или параметрическими уравнениями будут параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны, и перпендикулярны, если их направляющие векторы ортогональны:

L ₁: = , — направляющий вектор,

L ₂: = , — направляющий вектор.

L ₁ ÷÷ L ₂ Û ; L ₁ ^ L ₂ Û .

Дата добавления: 2015-04-24