Уравнение плоскости по точке и двум векторам, параллельным плоскости

Пусть имеется точка М ₀ (x ₀, y ₀, z ₀) и два неколлинеарных вектора и . Требуется найти уравнение плоскости, проходящей через точку М ₀ параллельно векторам и .

Возьмем произвольную точку М (x, y, z), принадлежащую искомой плоскости.

Тогда векторы являются компланарными и их смешанное произведение равно нулю. Имеем уравнение: .

Рассмотренный подход к получению уравнения плоскости используется, в частности, при выводе уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пусть имеются три точки М ₁ (x ₁, y ₁, z ₁), M ₂ (x ₂, y ₂, z ₂), M ₃ (x ₃, y ₃, z ₃). Требуется найти уравнение плоскости, проходящей через эти точки. Возьмем на плоскости произвольную точку М (x, y, z) и рассмотрим векторы = (x ₂ – x ₁; y ₂ – y ₁; z ₂ – z ₁),

= (x ₃ – x ₁; y ₃ – y ₁; z ₃ – z ₁) и = (x – x ₁; y – y ₁; z – z ₁), которые лежат в искомой плоскости и, следовательно, компланарны. Их смешанное произведение равно нулю. Получим искомое уравнение .

3. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ «В ОТРЕЗКАХ».

Уравнение плоскости вида называется уравнением плоскости «в отрезках». Его легко получить из общего уравнения плоскости A x + B y + С z + D = 0 при условии, что все коэффициенты А, В, С и D отличны от нуля.

A x + B y + С z + D = 0 Û A x + B y + С z = – D Û Û

Û . Обозначая знаменатели дробей в последнем уравнении через a, b и c, получим уравнение . В этом уравнении числа a, b и с равны величинам отрезков, которые плоскость отсекает на осях координат. Действительно, при х = y = 0 получим z = c, при x = z = 0 получим y = b, а при y = z = 0 получим x = a, то есть точки (0, 0, c), (0, b, 0) и (a, 0, 0) являются точками пересечения плоскости с осями OX, OY и OZ соответственно.

Дата добавления: 2015-04-24