КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Канонические уравнения прямой
|
|
|
|
УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ.
Углом между плоскостями называется острый угол j между ними.
Пусть плоскости P 1 и P 2 заданы уравнениями:
P 1: A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, 
— вектор нормали,
P 2: A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, 
, — вектор нормали.
Заметим, что угол между векторами нормалей равен либо углу j, либо смежному с ним тупому углу p-j, так как эти векторы направлены перпендикулярно плоскостям. В результате получаем cos j = êcos (p-j) ê = ê 
ê= 
=
= 
.
№ 8. Прямая в пространстве
Вывод канонических уравнений прямой производится точно так же, как это делалось для прямой на плоскости.
Пусть даны точка М 0 (x 0, y 0, z 0) и вектор 
— направляющий вектор прямой. Требуется найти уравнение прямой, проходящей через точку М 0 параллельно вектору 
.
Возьмем на искомой прямой произвольную точку М (x, y, z) и рассмотрим 
и 
— радиусы-векторы точек М и М 0. Вектор 
лежит на прямой и, следовательно, коллинеарен вектору , что равносильно векторному равенству – = t — векторному параметрическому уравнению прямой. Переписав это уравнение в координатной форме, получим параметрические уравнения прямой 
.
Из параметрических уравнений получаем канонические уравнения прямой в пространстве 
= 
= 
, которые представляют собой условия пропорциональности координат коллинеарных векторов 
и 
.
Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), имеют вид 
= 
= 
, так как вектор
= 
, лежащий на прямой, можно использовать в качестве направляющего вектора.
Прямые, заданные каноническими или параметрическими уравнениями будут параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны, и перпендикулярны, если их направляющие векторы ортогональны:
Пусть прямые L 1 и L 2, заданы каноническими уравнениями:
L 1: 
= 
= 
, — направляющий вектор,
L 2: 
= 
= 
, 
— направляющий вектор.
Тогда условия параллельности и перпендикулярности этих прямых описываются следующим образом:
L 1 ÷÷ L 2 Û 
; L 1 ^ L 2 Û 
.
Угол j между прямыми L 1 и L 2 вычисляется по формуле
cos j = ê 
ê= 
= 
, так как угол между направляющими векторами и 
данных прямых равен либо углу j, либо смежному с ним углу p – j.
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 758; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!