Общие уравнения прямой в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей: . Эти уравнения задают прямую, если плоскости, определяемые уравнениями A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0, не параллельны, и называются общими уравнениями прямой.

Связь с каноническими уравнениями:

Пусть прямая задана каноническими уравнениями = = . Тогде = = Û Û . Получили общие уравнения прямой.

Пусть теперь прямая задана общими уравнениями .

Для получения канонических уравнений этой прямой необходимо найти координаты x ₀, y ₀, z ₀ некоторой точки данной прямой и координаты ее направляющего вектора .

В качестве координат точки следует взять некоторое решение системы уравнений .

Для получения координат направляющего вектора используем уравнения плоскостей A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0, определяющих данную прямую.

— вектор нормали первой плоскости, , — вектор нормали второй плоскости. Поскольку данная прямая принадлежит обеим плоскостям, то ее направляющий вектор параллелен этим плоскостям и, следовательно, ортогонален векторам и . Отсюда следует, что в качестве направляющего вектора можно взять векторное произведение векторов и , то есть = ´ .

Дата добавления: 2015-04-24