Полупространства

НАХОЖДЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Если заданы канонические уравнения прямой и общее уравнение плоскости, то для нахождения точки пересечения необходимо решить систему их уравнений

Приравниваем каждое из отношений канонических уравнений параметру t и подставляем (3.3) в уравнение плоскости:

Если точка пересечения существует, т.е.

то

находим t:

а затем из (3.3) — координаты точки пересечения.

Задача. Найти т. Р пересечения x-2y+3z-4 = 0

L: .

Имеем х = 2t + 1, y = t, z = 4t-l (2t + 1) -2t + 3(4t - 1) - 4 = 0

12t = 6 t = 0,5 P(2; 0,5; 1)

№ 10. Полупространства и полуплоскости. Формулы расстояния от точки до плоскости и от точки до прямой на плоскости.

Пусть имеется плоскость P: A x + B y + С z + D = 0 с вектором нормали = (А; В; С).

Положительным полупространством, определяемым плоскостью P и ее нормалью называется множество точек М (x, y, z) пространства, такое, что для некоторой точки М ₀ (x ₀, y ₀, z ₀) плоскости P угол между векторами и не превышает . Поскольку для острого угла a cos a > 0, а , то данное условие можно переписать в виде , что равносильно неравенству · ³ 0. Так как = (А; В; С), а = (x – x ₀; y – y ₀, z – z ₀), то получаем неравенство A (x – x ₀) + B (y – y ₀) + C (z – z ₀) ³ 0 Û A x + B y + C z – A x ₀ – B y ₀ – C z ₀ ³ 0 Û A x + B y + С z + D ³ 0. На последнем шаге использовали равенство – A x ₀ – B y ₀ – C z ₀ = D, которое является верным, так как М ₀ Î P.

Таким образом, положительное полупространство задается неравенством A x + B y + С z + D ³ 0.

Заметим, что выбор точки М ₀ не влияет на полученный результат, поскольку равенство – A x ₀ – B y ₀ – C z ₀ = D является верным для любой точки М ₀ Î P.

Отрицательным полупространством, определяемым плоскостью P и ее нормалью называется множество точек М (x, y, z) пространства, такое, что для некоторой точки М ₀ (x ₀, y ₀, z ₀) плоскости P угол между векторами – и не превышает . Повторяя приведенные выше рассуждения, получим

Û – · ³ 0.

Так как = (– А; – В; – С), а = (x – x ₀, y – y ₀, z – z ₀), то получаем неравенство – A (x – x ₀) – B (y – y ₀) – C (z – z ₀) ³ 0 Û – A x – B y – C z + A x ₀ + B y ₀ + C z ₀ ³ 0 Û –Ax – By – Сz – D ³ 0 Û Ax + By + Сz + D £ 0.

Таким образом, отрицательное полупространство задается неравенством A x + B y + С z + D £ 0.

Дата добавления: 2015-04-24