КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Линейная алгебра
|
|
|
|
№ 1 ПРОСТРАНСТВО R n И ЕГО ПОДПРОСТРАНСТВА. ПРИМЕРЫ ПОДПРОСТРАНСТВ.
Пусть n — некоторое натуральное число. Рассмотрим множество
{`x = (x 1, x 2, …, x n)} всевозможных упорядоченных наборов из n вещественных чисел. Введем на этом множестве операции сложения элементов множества и умножения их на вещественные числа.
Пусть`x = (x 1, x 2, …, x n),`y = (y 1, y 2, …, y n), l — некоторое вещественное число.
Тогда`x +`y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, …, x n + y n), l`x = (l x 1, l x 2 , …, l x n).
Множество всевозможных упорядоченных наборов из n вещественных чисел с введенными на нем операциями сложения и умножения на число называется векторным пространством R n. Элементы`x = (x 1, x 2 , …, x n) этого пространства называются n -мерными векторами, а сами числа
x 1, x 2 , …, x n — компонентами, или координатами вектора`x. Нулевым вектором`0 и вектором –`x, противоположным вектору`x называются векторы
`0 = (0, 0, ¼, 0) и –`x = (– x 1, – x 2 , …, – x n).
Очевидно, что введенные операции удовлетворяют следующим условиям:
1) `x +`y =`y +`x,
2) `x + (`y +`z) = (`x +`y) +`z,
3) $ 
Î R n:`x +`0 =`x,
4) "`x Î R n $ –`x Î R n:`x + (–`x) =`0,
5) " a, b Î R,`x Î R n: a (b`x) = (a b)`x,
6) " a, b Î R,`x Î R n: (a + b)`x = a`x + b`x,
7) " a Î R,`x,`y Î R n: a (`x +`y) = a`x + a`y,
8) 1 ·`x =`x.
Частными случаями пространства R n при n = 2 и n = 3 являются множества R 2 и R 3 двумерных и трехмерных векторов плоскости или пространства соответственно.
Подпространством пространства R n называется его подмножество L, удовлетворяющее двум условиям, которые называются условиями линейности:
1) `x,`y Î L Þ`x +`y Î L,
2) `x Î L, a Î R Þ a`x Î L.
Примеры подпространств: {`0 }, R n. В пространстве R 2 подпространством является также множество радиус-векторов точек, лежащих на прямой, проходящей через начало координат, в R 3 — множество радиус-векторов точек, лежащих на прямой или на плоскости, проходящей через начало координат.
Два ненулевых вектора` a и` b называются пропорциональными, если существует такое вещественное число l, что` a = l` b.
Множество, состоящее из k векторов` a 1,` a 2 , ¼,` a k, называется системой векторов.
Вектор` b называется линейной комбинацией векторов` a 1,` a 2 , ¼,` a k, если существуют такие числа l 1, l 2 , ¼, l k, что
` b = l 1` a 1 + l 2` a 2 + ¼ + l k ` a k.
В этом случае говорят, что вектор` b линейно выражается через векторы
` a 1,` a 2 , ¼,` a k.
Совокупность всевозможных линейных комбинаций векторов
` a 1,` a 2 , ¼,` a k называется линейной оболочкой системы векторов
` a 1,` a 2 , ¼,` a k и обозначается L (` a 1,` a 2 , ¼,` a k).
Например, в пространстве R 3 L (` a) — прямая, проходящая через начало координат; если` a и` b неколлинеарные, то L (` a,` b) — плоскость, проходящая через начало координат.
Рассмотрим в R n векторы
` e 1 = (1, 0, …, 0),` e 2 = (0, 1, …, 0), …,` e n = (0, 0, …, 1).
Тогда L (` e 1,` e 2, …,` e n ) = R n.
Действительно, если`x Î L (` e 1,` e 2, …,` e n), то
`x = l 1` e 1 + l 2` e 2 + ¼ + l n ` e n Î R n, то есть L (` e 1, ` e 2, …,` e n) Ì R n.
Пусть теперь`x Î R n. Тогда
`x = (x 1, x 2 , …, x n) = (x 1, 0, …, 0) + (0, x 2, …, 0) +…+ (0, 0, …, x n) =
= x 1 (1, 0, …, 0) + x 2 (0, 1,…, 0) + … + x n (0, 0, …, 1) Î L (` e 1, ` e 2, …,` e n ). Следовательно, R n Ì L (` e 1, ` e 2, …,` e n ) и L (` e 1, ` e 2, …,` e n ) = R n.
ТЕОРЕМА 1.
Линейная оболочка системы векторов пространства R n является подпространством пространства R n.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть дана система векторов` a 1,` a 2 , ¼,` a k. Возьмем вектор
`x Î L (` a 1,` a 2 , ¼,` a k). Тогда `x = l 1` a 1 + l 2` a 2 + ¼ + l k ` a k Î R n, то есть L (` a 1,` a 2 , ¼,` a k) Ì R n. Проверим выполнение условий линейности из определения подпространства.
1) Возьмем `x,`y Î L (` a 1,` a 2 , ¼,` a k).
Тогда `x = l 1` a 1 + l 2` a 2 + ¼ + l k ` a k,`y = m 1` a 1 + m 2` a 2 + ¼ + m k ` a k,
`x +`y = l 1` a 1 + l 2` a 2 + ¼ + l k ` a k + m 1` a 1 + m 2` a 2 + ¼ + m k ` a k =
= (l 1 + m 1)` a 1 + (l 2 + m 2)` a 2 + ¼ + (l k + m k )` a k Î L (` a 1,` a 2, ¼,` a k).
2) Пусть теперь`x Î L (` a 1,` a 2 , ¼,` a k), a Î R.
Тогда`x = l 1` a 1 + l 2` a 2 + ¼ + l k ` a k,
a`x = a l 1` a 1 + a l 2` a 2 + ¼ + a l k ` a k Î L (` a 1,` a 2 , ¼,` a k).
Теорема доказана.
Если подпространство L пространства R n является линейной оболочкой векторов` a 1,` a 2, ¼,` a k, то говорят, что система векторов` a 1,` a 2, ¼,` a k порождает подпространство L.
ТЕОРЕМА 2.
Если вектор` b линейно выражается через векторы` a 1,` a 2 , ¼,` a k, то
L (` b,` a 1,` a 2 , ¼,` a k) = L (` a 1,` a 2 , ¼,` a k).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Так как вектор` b линейно выражается через векторы` a 1,` a 2 , ¼,` a k, то` b = a 1` a 1 + a 2` a 2 + ¼ + a k ` a k.
Возьмем вектор`x Î L (` b,` a 1,` a 2 , ¼,` a k).
Тогда`x = l 0` b + l 1` a 1 + l 2` a 2 +¼+ l k ` a k =
= l 0 (a 1` a 1 + a 2` a 2 + ¼ + a k ` a k) + l 1` a 1 + l 2` a 2 + ¼ + l k ` a k =
= (l 0 a 1 + l 1)` a 1 + (l 0 a 2 + l 2)` a 2 +¼+ (l 0 a k + l k)` a k Î
Î L (` a 1,` a 2 , ¼,` a k) Þ L (` b,` a 1,` a 2 , ¼,` a k) Ì L (` a 1,` a 2 , ¼,` a k).
Возьмем вектор`x Î L (` a 1,` a 2 , ¼,` a k).
Тогда`x = l 1` a 1 + l 2` a 2 + ¼ + l k ` a k Þ
Þ`x = 0` b + l 1` a 1 + l 2` a 2 + ¼ + l k ` a k Þ`x Î L (` b,` a 1,` a 2 , ¼,` a k).
Следовательно, L (` a 1,` a 2 , ¼,` a k) Ì L (` b,` a 1,` a 2 , ¼,` a k).
Теорема доказана.
№ 2. Линейные комбинации системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Теоремы о линейных оболочках. Линейная оболочка системы векторов е1,е2...еn.
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 520; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!