Теорема 1

ТЕОРЕМЫ О ЛИНЕЙНЫХ ОБОЛОЧКАХ

ЛИНЕЙНАЯ ОБОЛОЧКА СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

Линейной комбинацией векторов называют вектор

где - коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если - нетривиальной.

Пусть – система векторов из . Линейной оболочкой системы векторов называется множество всех линейных комбинаций векторов данной системы, т.е

Свойства линейной оболочки: Если , то для и .

Линейная оболочка обладает свойством замкнутости по отношению к линейным операциям (операции сложения и умножения на число).

Линейная оболочка системы векторов пространства R ⁿ является подпространством пространства R ⁿ.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть дана система векторов` a <sub>1</sub>,` a ₂ , ¼,` a _k. Возьмем вектор

`x Î L (` a ₁,` a <sub>2</sub> , ¼,` a _k). Тогда `x = l <sub>1</sub>` a ₁ + l ₂` a <sub>2</sub> + ¼ + l <sub>k</sub> ` a _k Î R ⁿ, то есть L (` a <sub>1</sub>,` a ₂ , ¼,` a _k) Ì R ⁿ. Проверим выполнение условий линейности из определения подпространства.

Возьмем `x,`y Î L (` a <sub>1</sub>,` a ₂ , ¼,` a _k).

Тогда `x = l <sub>1</sub>` a ₁ + l ₂` a <sub>2</sub> + ¼ + l <sub>k</sub> ` a _k,`y = m <sub>1</sub>` a ₁ + m ₂` a <sub>2</sub> + ¼ + m <sub>k</sub> ` a _k,

`x +`y = l ₁` a <sub>1</sub> + l <sub>2</sub>` a ₂ + ¼ + l _k ` a <sub>k</sub> + m <sub>1</sub>` a ₁ + m ₂` a <sub>2</sub> + ¼ + m <sub>k</sub> ` a _k =

= (l ₁ + m ₁)` a <sub>1</sub> + (l <sub>2</sub> + m <sub>2</sub>)` a ₂ + ¼ + (l _k + m _k )` a <sub>k</sub> Î L (` a ₁,` a <sub>2</sub>, ¼,` a _k).

Пусть теперь`x Î L (` a ₁,` a <sub>2</sub> , ¼,` a _k), a Î R.

Тогда`x = l <sub>1</sub>` a ₁ + l ₂` a <sub>2</sub> + ¼ + l <sub>k</sub> ` a _k,

a`x = a l <sub>1</sub>` a ₁ + a l ₂` a <sub>2</sub> + ¼ + a l <sub>k</sub> ` a _k Î L (` a <sub>1</sub>,` a ₂ , ¼,` a _k).

Теорема доказана.

Если подпространство L пространства R ⁿ является линейной оболочкой векторов` a <sub>1</sub>,` a ₂, ¼,` a <sub>k</sub>, то говорят, что система векторов` a ₁,` a <sub>2</sub>, ¼,` a _k порождает подпространство L.

Дата добавления: 2015-04-24