Алгоритм отыскания базиса системы векторов

Дана система векторов ` a <sub>1</sub>,` a ₂ , ¼,` a _k Î R ⁿ:

` a <sub>1</sub> = (a <sub>11</sub>, a <sub>12</sub>,…, a <sub>1 n</sub> ),` a ₂ = (a ₂₁, a ₂₂,…, a _{2 n} ),¼,` a _k = (a _{k 1}, a _{k 2},…, a _{k n} ).

Разложим эти векторы по стандартному базису:

Внесем полученные выражения в жорданову таблицу

	` e 1	` e 2	…	` e n
` a 1 =	a 11	a 12	…	a 1 n
` a 2 =	a 21	a 22	…	a 2 n
…	…	…	…	…
` a k =	` a k 1	` a k 2	…	` a k n

Выполним максимально возможное число шагов ОЖИ.

Предположим, что мы сумели сделать r шагов ОЖИ. При этом какие-то r векторов системы`e <sub>1</sub> ,`e ₂ , …,`e <sub>n</sub> заменились на некоторые векторы системы` a ₁,` a <sub>2</sub> , ¼,` a _k. Для простоты обозначений будем считать, что это будут `e <sub>1</sub>,`e ₂, …,`e <sub>r</sub> и` a ₁,` a <sub>2</sub> , ¼,` a _r (иначе перенумеруем векторы). Невозможность выполнения следующего (r + 1)-го шага ОЖИ означает, что итоговая таблица имеет вид

	` a 1	…	` a r	`e r + 1	…	`e n
`e 1	*	…	*	*	…	*
…	…	…	…	…	…	…
`e r	*	…	*	*	…	*
` a r + 1	b r + 1, 1	…	b r + 1, r		…
…	…	…	…	…	…	…
` a k	b k 1	…	b k r		…

Векторы` a <sub>r + 1</sub>, …,` a _k невозможно поменять местами ни с одним из векторов` e <sub>r + 1</sub>, …,` e _n , так как в качестве разрешающего элемента не может быть выбрано число 0. Это означает, что выполнено максимально возможное число шагов ОЖИ.

Векторы` a <sub>1</sub>,` a ₂ , ¼,` a <sub>r</sub> , перешедшие наверх таблицы, линейно независимы. Действительно, первый из переброшенных наверх векторов образует линейно независимую систему, так как является ненулевым. Добавление к этой линейно независимой системе по одному вектору на каждом шаге ОЖИ не может привести к появлению линейно зависимой системы, так как в этом случае в силу утверждения 4 о линейно зависимых системах последний переброшенный наверх вектор должен был бы линейно выражаться через остальные векторы этой системы. При этом условии выполнение последнего шага ОЖИ было бы невозможным (почему?). Из полученной таблицы можно выписать линейные выражения векторов` a _{r + 1}, …,` a <sub>k</sub> через векторы ` a ₁,` a <sub>2</sub> , ¼,` a _r :

` a <sub>r + 1</sub> = b <sub>r +1, 1</sub>` a ₁ + … + b _{r +1, r} ` a <sub>r</sub>, …,` a _k = b _{k 1}` a <sub>1</sub> + … + b <sub>k r</sub> ` a _r .

Добавим к ним очевидные соотношения:` a <sub>1</sub> =` a ₁ + 0` a <sub>2</sub> + … + 0` a _r,

` a <sub>2</sub> = 0` a ₁ +` a <sub>2</sub> + … + 0` a _r, …,` a <sub>r</sub> = 0` a ₁ + 0` a <sub>2</sub> + … +` a _r. Таким образом, согласно определению базиса системы векторов векторы` a <sub>1</sub>,` a ₂ , ¼,` a <sub>r</sub> являются базисом системы` a ₁,` a <sub>2</sub> , ¼,` a _k . Ранг этой системы равен r. Координаты векторов системы` a <sub>1</sub>,` a ₂ , ¼,` a <sub>k</sub> в найденном базисе равны коэффициентам в полученных разложениях векторов системы` a ₁,` a <sub>2</sub> , ¼,` a _k по этому базису, то есть ` a <sub>1</sub> = (1, 0, …, 0), ` a ₂ = (0, 1, …, 0), …, ` a <sub>r</sub> = (0, 0, …,1), ` a _{r + 1} = (b _{r +1, 1}, …, b _{r +1, r}), …, ` a _k = (b _{k 1}, …, b _{k r}).

№ 10. Матрицы и действия над ними

Произвольная система вещественных чисел, записанная в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется матрицей размерности

m ´ n и обозначается = (a _{i j} ) = A.

Числа a _{i j} называются элементами матрицы А. Первый индекс i означает номер строки, второй индекс j — номер столбца, в которых стоит элемент a _{i j}.

Если число строк матрицы A равно числу ее столбцов n, то А называется квадратной матрицей порядка n.

Матрица, имеющая только одну строку, называется вектор – строкой.

Матрица, имеющая только один столбец, называется вектор – столбцом.

Матрицы A = (a _{i j} ) и B = (b _{i j} ) называются равными, если они имеют одинаковую размерность и их элементы a _{i j} и b _{i j}, стоящие на одинаковых местах, равны между собой.

Дата добавления: 2015-04-24