Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью ОЖИ

СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

Если матрица A имеет обратную, то только одну.

Действительно, если A имеет две обратные матрицы B и C, то справедливы равенства A B = B A = E и A C = C A = E. Тогда B = B E = B (A C) = = (B A) C= E C = C. Матрицы B и C совпадают. Единственность обратной матрицы доказана.

(A^{– 1}) ^{– 1} = A. Доказательство очевидно, так как A^{– 1}A = A A^{– 1} = E.

(A B) ^{– 1} = B ^{– 1 A – 1}.

Действительно, (A B) (B ^{– 1}A ^{– 1}) = A (B B ^{– 1}) A ^{– 1} = A E A^{– 1} = A A^{– 1} = E;

(B ^{– 1}A ^{– 1}) (A B) = B ^{– 1} (A^{– 1 A}) B = B ^{– 1} E B = B ^{– 1} B = E. Следовательно, матрица B ^{– 1}A ^{– 1} является обратной для матрицы A B.

Доказанное утверждение справедливо для любого конечного числа множителей: (A B … C) ^{– 1} = C ^{– 1} … B ^{– 1} A^{– 1}.

Не каждая квадратная матрица имеет обратную. Сформулируем критерий существования обратной матрицы.

ТЕОРЕМА. (Критерий существования обратной матрицы.)

Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее строки были линейно независимыми. (Без доказательства.)

Пусть дана матрица A. Составим жорданову таблицу, элементами которой будут являться элементы a _{i j} матрицы A.

	x 1	…	x n
y 1 =	a 11	…	a 1 n
…	…	…	…
y n =	a n 1	…	a n n

Учитывая правила заполнения жордановых таблиц и умножения матриц, заметим, что эта таблица равносильна равенству

`y = A`x, где`y = , а`x = .

Выполнив n шагов ОЖИ, что возможно только в том случае, когда строки матрицы A линейно независимы, получим таблицу

	y 1	…	y n
x 1 =	b 11	…	b 1 n
…	…	…	…
x n =	b n 1	…	b n n

Эта таблица равносильна равенству`x = B`y для тех же самых векторов `x и`y.

Так как`y = A`x и`x = B`y, то`y = A B`y, что в силу произ4кпа5иемвольности вектора`y равносильно равенству A B = E.

Аналогично`x = B`y = B A`x и, следовательно, B A = E.

Поскольку A B = B A = E, то полученная в таблице матрица B равна A^{– 1}.

Дата добавления: 2015-04-24