Умножение матриц

СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО.

Если матрицы A и B имеют одинаковую размерность, то их суммой A + B называется матрица C, элементы которой c _{i j} равны суммам соответствующих элементов матриц A и B: c _{i j} = a _{i j} + b _{i j}.

Произведением матрицы A на число a называется матрица aA, полученная из матрицы A умножением всех ее элементов на число a.

Например, + = ;

2 · = .

Для произвольной матрицы A матрица (– 1) · A обозначается – A.

Сумма матриц A и – B обозначается A – B.

Произведение A B матриц A и B определено, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. В частности, если A и B — квадратные матрицы одного порядка, то произведения A B и B A определены.

Произведением матриц A = (a _{i j}) и B = (b _{i j}) называется матрица C = (c _{i j}), обозначаемая символом С = А В, каждый элемент c _{i j} которой равен сумме произведений элементов i – й строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В, то есть

c _{i j} = a _{i 1} b _{1 j} + a _{i 2} b _{2 j} + … + a _{i n} b _{n j} (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

Иными словами, если матрицу A представить как матрицу, строками которой являются векторы` a <sub>1</sub>,` a ₂ , ¼,` a <sub>m</sub>, а матрицу B — как матрицу, столбцами которой являются векторы` b ₁,` b <sub>2</sub> , …,` b _n, то элемент c _{i j} матрицы С равен скалярному произведению` a <sub>i</sub> ` b _j векторов` a <sub>i</sub> и` b _j.

ПРИМЕРЫ.

· = = ;

· = =

= .

Свойства умножения матриц.

a (A B) = (a A) B = A (a B);

(А В) С = А (В С);

(А + В) С = А С + В С; C (A + B) = C A + C B.

Умножение двух матриц в общем случае не обладает свойством коммутативности, то есть

А В ¹ В А (см. рассмотренные примеры).

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ.

Матрица A^T, строки которой являются столбцами матрицы A с теми же порядковыми номерами, называется транспонированной к матрице A.

Если A = (a _{i j} ) и A^T = (a ^T _{i j}), то a ^T _{i j} = a _{j i}.

Пример. = .

Свойства транспонирования.

(a A)^T = a A^T

(A + B)^T = A^T + B^T

(AB)^T = B^T A^T

№ 11. Обратная матрица и её свойства. Критерий существования обратной матрицы. Алгоритм нахождения. Пример.

Квадратная матрица E называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1, а все остальные — 0. Например,

E = — единичная матрица порядка 3. Название единичная обусловлено тем, что для любой матрицы A и единичной матрицы E соответствующего порядка справедливы равенства A E = A, E A = A. В частности для квадратной матрицы A.: A E = E A = A.

Говорят, что квадратная матрица A имеет обратную, если существует такая квадратная матрица B, что A B = B A = E.

Матрица B называется обратной матрицей к матрице A и обозначается A^–1.

Дата добавления: 2015-04-24