Кривые второго порядка. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы

Расстояние от точки до плоскости.

Теорема 6.6. В прямоугольной декартовой системе координат Oxyz расстояние от точки М₀(x₀, y₀, z₀) до плоскости) определяется формулой

(1)

Угол между плоскостями. Пусть плоскости π₁ и π₂ заданы уравнением

π_i: Ax_i + By_i+Czsub>i + D = 0, A_i² + B_i² + C_i² ≠ 0, i = 1, 2, (2)

Вообще говоря, две пересекающиеся плоскости π₁ и π₂ образуют два угла, в сумме равные π. Достаточно определить один из них. Так как векторы нормали n₁ и n₂ перпендикулярны плоскостям, то угол φ = совпадают с одним из углов между плоскостями π₁ и π₂. угол φ между плоскостями (2), совпадающий с углом между их нормалями, определяются формулой

.
В частности, плоскости π₁ и π₂ перпендикулярны тогда и только тогда, когда A₁A₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0.

Определение 1 Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.

Дата добавления: 2015-04-24