Рассмотрим прямоугольник со сторонами a и b и площадью S

2) Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b, как показано на рисунке. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, поэтому

3) Из рисунка видно, что квадрат составлен из двух прямоугольников со сторонами a и b и двух квадратов, причем один из них со стороной a имеет площадь a², а второй – со стороной b имеет площадь b².

Следовательно, площадь каждого прямоугольника равна

N

C

B

А

N

C

B

А

Теорема о площади прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Доказательство: Пусть дан прямоугольный треугольник Т со сторонами a и b. Достроим его до прямоугольника Р со сторонами a и b, проведя через вершины его острых углов прямые, перпендикулярные катетам. Гипотенуза треугольника разбивает прямоугольник на два равных треугольника Т и Т₁. Поэтому

Теорема о площади произвольного треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон и проведенной к ней высоты:

Доказательство:

1) Пусть D АВС – остроугольный, тогда BN ^ AC лежит внутри треугольника.

2) Пусть D АВС – тупоугольный с тупым углом С и BN ^ AC лежит внутри треугольника.

N

C

B

А

Вычисление площади треугольника через угол. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон и синуса угла между ними:

Доказательство:

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

G

F

E

Q

Р

M

D

N

C

B

А

Доказательство:

1). Пусть Т – прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой с.

2). Построим квадрат K со стороной a + b. На сторонах квадрата отметим точки D, E, F, G так, чтобы отрезки DE, EF, FG, GD отсекали от квадрата K прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ с катетами a и b.

3). Все прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т. Следовательно DE = EF = FG = GD.

Дата добавления: 2015-04-24