Другой критерий описанного четырехугольника связан с его сторонами

Так как центр окружности, вписанной в четырехугольник, равноудален от его сторон, то он принадлежит биссектрисе каждого из его углов. Следовательно, биссектрисы углов описанного четырехугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в него окружности. Обратно, если биссектрисы трех углов четырехугольника пересекаются в одной точке, то эта точка будет равноудалена от всех его сторон, т. е. будет центром вписанной в этот четырехугольник окружности. Итак, для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы биссектрисы трех его углов пересекались в одной точке.

Это противоречит условию теоремы. Следовательно, точка С не может лежать внутри окружности.

Пусть точка С лежит внутри круга.

Это противоречит условию теоремы. Следовательно, точка С не может лежать вне окружности.

F

E

B

A

C

D

Тогда

Вывод: Чтобы выполнялось условие теоремы, точка С должна лежать только на окружности, а четырехугольник ABCD должен быть вписанным в окружность.

9. Доказать теорему о четырехугольнике, в который вписана окружность. Доказатьтеорему о сумме катетов прямоугольного треугольника.

Теорема. Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны.

Необходимость этого условия следует из равенства отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки:

AB + CD = (x + y) + (z + t) = (y + z) + (x + t) = BC + AD.

Дата добавления: 2015-04-24