Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теорема об ортоцентре треугольника. Все высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке




Точка пересечения высот треугольника. Она является ортоцентром треугольника.

Точка пересечения медиан треугольника. Она является центром тяжести треугольника.

Теорема о центре тяжести треугольника. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины.

С
В
В1
А1
А
О
Доказательство:

1). Медиана АА1 пересекает АВ в точке А1. Медиана ВВ1 пересекает АС в точке В1. Тогда А1В1– средняя линия.

2). Рассмотрим D АОВ и D А1ОВ1.

3). Из подобия треугольников:

4). Аналогично доказывается, что точка О делит медиану СС1 в отношении 2:1.

C1
C2
B1
B2
A2
C
B
A
O
A1
Дано: D АВС; АА1, ВВ1, СС1 - высоты.

Доказать: АА1 ∩ ВВ1 = {O}; АА1 ∩ СС1 = {O}.

Доказательство:

1. Проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А2В2С2.

2. Рассмотрим D АВС и D АВС2.

2. Рассмотрим D АВС и D А2ВС и аналогично докажем, что

3. Рассмотрим D АВС и D В2АС и аналогично докажем, что

4.

5. Аналогично докажем, что АА1 – серединный перпендикуляр к отрезку В2С2, а СС1 – серединный перпендикуляр к отрезку В2А2.

6. Отрезки В2С2, В2А2 и А2С2 образуют треугольник А2В2С2, в котором серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке. Следовательно, высоты треугольника АВС пересекаются в одной точке.

12. Доказать признаки подобия треугольников.

Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

А
В
С
С1
В1
А1
Доказательство:




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 1586; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.