Единственность такой окружности

Существование вписанной окружности с центром в точке О.

Теорема 3 (о центре вписанной окружности). Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Единственность такой окружности.

Существование описанной окружности с центром в точке О.

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от всех его вершин и является центром описанной окружности.

Теорема 2 (о существовании описанной окружности): Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

C

B

A

O

N

K

E

Дано: DАВС. Доказать:

Доказательство:

1. В произвольном треугольнике АВС обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров, так как все серединные перпендикуляры в треугольнике пересекаются в одной точке. Соединим точку O с вершинами треугольника. Отрезки AO = ВO = CO, так как точка O равноудалена от вершин треугольника. Поэтому окружность с центром в точке O проходит через все вершины треугольника АВС и является описанной около треугольника. 2. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Определение 2. Треугольник называется описанным около окружности, а окружность – вписанной в треугольник, если все стороны треугольника лежат на касательных к окружности.

Дано: D АВС; АА₁, ВВ₁, СС₁ - биссектрисы.

Доказать: АА₁ ∩ ВВ₁ = {O}; АА₁ ∩ СС₁ = {O}.

Доказательство:

1. Пусть биссектрисы АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке О. Построим из точки О перпендикуляры OK, ON и OP к сторонам АВ, ВС и АС треугольника.

2. По характерному свойству биссектрисы ОК = ОР, так как точка О лежит на биссектрисе АА₁; и OK = ON, так как точка О лежит на биссектрисе ВВ₁. Следовательно, ОК = ОР = ON.

N

K

B

C

C₁

B₁ P

A₁

A

O

3. Если ОР = ON, то точка О равноудалена от сторон угла С и лежит на биссектрисе СС₁.

Вывод: Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон и является центром вписанной окружности. Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром.

Теорема 4 (о существовании вписанной окружности): В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

P B₁

C

B

C₁ K

A₁ N

A

O

Дано: DАВС. Доказать:

Доказательство:

1. В произвольном треугольнике АВС обозначим буквой О точку пересечения биссектрис, так как все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке. Опустим из точки O перпендикуляры на все стороны треугольника. Так как точка О равноудалена от сторон треугольника, то отрезки OK = ON = OP. Поэтому окружность с центром в точке O касается всех сторон треугольника АВС и является вписанной в него.

Дата добавления: 2015-04-24