Признаки параллелограмма

Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

D

С

В

А

Дано: ABCD – четырехугольник; АD II BC, АD = BC.

Доказать: АВСD – параллелограмм.

Доказательство: Проведем диагональ АС.

АС – общая;

ВС = АD (по условию);

ÐВСА = ÐСАD (внутренние накрест лежащие

при АD II BC и секущей АС);

Þ DАВС = DАDС (по 1 признаку).

ÐВAC = ÐACD (внутренние накрест лежащие) Þ АВ II СD. АВСD – параллелограмм.

Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Дано: ABCD – четырехугольник; АВ = СD, АD = BC. Доказать: АВСD – параллелограмм.

Доказательство: Проведем диагональ АС.

АС – общая; ВС = АD (по условию); АВ = СD (по условию); Þ DАВС = DАDС (по 3 признаку).

ÐВСА = ÐСАD (внутренние накрест лежащие) Þ АD II BC;

ÐВAC = ÐACD (внутренние накрест лежащие) Þ АВ II СD.

АВСD – параллелограмм.

Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

О

D

С

В

А

Дано: ABCD – четырехугольник;

АС∩ВD = {О}; BO = OD; AO = OC.

Доказать: АВСD – параллелограмм.

Доказательство:

ВO = OD (по условию); АO = OС (по условию);

ÐAOВ = ÐСOD (вертикальные);

Þ DАОВ = DDОС (по 1 признаку).

ÐОВА = ÐСDО (внутренние накрест лежащие)

Þ АВ II СD;

ВO = OD (по условию);

АO = OС (по условию);

ÐСOВ = ÐАOD (вертикальные);

Þ DСОВ = DDОА (по 1 признаку).

ÐВCО = ÐОAD (внутренние накрест лежащие) Þ АD II BC. АВСD – параллелограмм

6. Прямоугольник, ромб, квадрат. Признаки прямоугольника, ромба, квадрата.

Определение 1. Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

D

С

В

А

О

Особое свойство ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Дано: ABCD – ромб.

Доказать: АС ^ ВD; ÐВАС = ÐСАD; ÐAВD = ÐDBC.

Доказательство:

Рассмотрим DАВС. АВ = ВС, АО = ОС.

Þ ВО – высота и биссектриса ÐАВC.

Þ ВС ^ AD; ÐАВO = ÐCВO.

Рассмотрим DАВD. АВ = AD, BО = ОD.

Þ AО – высота и биссектриса ÐBАD.

Þ ÐВAO = ÐOAD.

Признаки ромба.

D

С

В

А

О

Признак 1. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом.

Дано: ABCD – параллелограмм; АС ^ ВD.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство:

АО = ОС; ВО = ОD (по свойству диагоналей параллелограмма);

ÐАОВ = ÐВОС = ÐСОD = ÐАОD = 90°;

Þ DАОВ = DВОС = DСОD = DAOD (как прямоугольные по двум катетам);

Þ АВ = ВС = СD = AD; Þ АВСD – ромб

D

С

В

А

О

Признак 2. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм является ромбом.

Дано: ABCD – параллелограмм;

ÐВАО = ÐОАD.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство:

АО – общая;

ВО = ОD (по свойству диагоналей параллелограмма);

ÐВАО = ÐDAО (по условию);

Þ DАОВ = DAOD (как прямоугольные по катету и прилежащему острому углу);

Þ АВ = AD Þ АВСD – ромб

Определение 2. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

D

С

В

А

О

Особое свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны.

Дано: ABCD – прямоугольник.

Доказать: AС = BD.

Доказательство:

Дата добавления: 2015-04-24