Кратчайшим расстоянием от точки А до прямой р является перпендикуляр АС, опущенный из точки А на прямую р

Определение 4. Расстоянием от точки до прямой называется перпендикуляр, опущенный из точки на данную прямую.

В₁

С₁

B

А₁

C

A

2. Признаки равенства треугольников. Св-ва р/б-го треугольника

Теорема 1 (первый признак равенства треугольников – СУС). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆АВС; ∆А₁В₁С₁; АВ = А₁В₁; ÐA = ÐA₁; АС = А₁С₁.

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Наложим ∆АВС на ∆А₁В₁С₁ так, чтобы точка А совместилась с точкой А₁, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и А₁С₁.

2. Поскольку АВ = А₁В₁, точки В и В₁ совпадут, а сторона АВ совместится со стороной А₁В₁.

3. Поскольку АС = А₁С₁, точки С и С₁ совпадут, а сторона АС совместится со стороной А₁С₁.

4. Согласно аксиоме существования прямых стороны ВС и В₁С₁ также совпадут. ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Теорема 2 (второй признак равенства треугольников – УСУ). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆АВС; ∆А₁В₁С₁; ÐA = ÐA₁; АС = А₁С₁; ÐС = ÐС₁.

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Наложим ∆АВС на ∆А₁В₁С₁ так, чтобы точка А совместилась с точкой А₁, сторона АС – с равной ей стороной А₁С₁, а вершины В и В₁ оказались по одну сторону от прямой А₁С₁.

2. Поскольку ÐA = ÐA₁ и ÐС = ÐС₁, то сторона АВ наложится на луч А₁В₁, а сторона СВ наложится на луч С₁В₁. Вершина В – общая точка сторон АВ и СВ – окажется лежащей на лучах А₁В₁ и С₁В₁, а следовательно, совместится с общей точкой лучей А₁В₁ и С₁В₁, т. е. с точкой В₁. Значит, совместятся стороны АВ и А₁В₁, а также СВ и С₁В₁. Значит, ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

A₁

В₁

B

С (С₁)

В₁

С₁

A (A₁)

C

B

A

Теорема 3 (третий признак равенства треугольников – ССС). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆АВС; ∆А₁В₁С₁; АВ = А₁В₁; ВС = В₁С₁; АС = А₁С₁. Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Дополнительное построение. Приложим ∆АВС к ∆А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁ и вершина С совместилась с вершиной С₁, а вершина В и вершина В₁ оказались по разные стороны от отрезка АС.

2. Возможны три случая: 1) луч ВВ₁ проходит внутри угла АВС; 2) луч ВВ₁ совпадает с одной из сторон угла АВС; 3) луч ВВ₁ проходит вне угла АВС.

3. Рассмотрим первый случай. Так как АВ = А₁В₁, то ∆АВВ₁ – равнобедренный Þ

Ð АВВ₁ = ÐАВ₁В (углы при основании). Так как СВ = СВ₁, то ∆СВВ₁ – равнобедренный Þ ÐСВВ₁ = ÐСВ₁В (углы при основании).

4. Рассмотрим второй случай. Пусть точка СÌВВ₁. Так как АВ = А₁В₁, то ∆АВВ₁ – равнобедренный Þ

Ð АВВ₁ = ÐАВ₁В (углы при основании). Так как СВ = СВ₁, то в ∆АВВ₁ АС – медиана.

3. Рассмотрим третий случай. Так как АВ = А₁В₁, то ∆АВВ₁ – равнобедренный Þ

Ð АВВ₁ = ÐАВ₁В (углы при основании). Так как СВ = СВ₁, то ∆СВВ₁ – равнобедренный Þ ÐСВВ₁ = ÐСВ₁В (углы при основании).

Определение 1. Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья сторона – основанием. Общая вершина двух равных (боковых) сторон называется вершиной равнобедренного треугольника.

P

М

К

С

В

А

Определение 2. Биссектрисой треугольника называется отрезок, делящий внутренний угол треугольника пополам и проведенный из вершины до пересечения с противоположной стороной. АК – биссектриса угла А.

Определение 3. Медианой треугольника называ­ется отрезок, соединяющий вершину треугольника с середи­ной противоположной стороны. CM – медиана, проведенная к сто­роне АВ, при этом АМ = МВ.

Определение 4. Высотой треугольника называ­ется отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. ВР – высота, опущенная на сто­рону АС.

Свойства равнобедренного треугольника.

D

C

B

A

Теорема 1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС. Доказать: ÐА = ÐС.

Доказательство:

1. Дополнительное построение. Проведем отрезок BD – биссектрису ÐАВС.

2. ÐABD = ÐDBC = (по свойству биссектрисы).

4. Из ∆ABD = ∆DBC Þ ÐA = ÐC.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является его медианой и высотой.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС. Доказать: BD – медиана, BD – высота.

Доказательство:

2. Из ∆ABD = ∆DBC Þ AD = DC Þ ВD – медиана по определению.

3. Из ∆ABD = ∆DBC Þ ÐADВ = ÐВDC.

3. Признаки параллельности прямых. Следствия. Теорема о углах соответственно параллельными сторонами.

Теорема 1. Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются (параллельны).

Дано: а – прямая;

Доказать:

a

B₁

B

Q

P

A₁

A

Доказательство:

1) Допустим, что Мысленно перегнем чертеж по прямой а так, чтобы верхняя часть чертежа наложилась на нижнюю.

2) Так как то луч РА наложится на луч РА₁. Аналогично луч QB наложится на луч QB₁.

3) Если то эта точка наложится на некоторую точку М₁, также лежащую на прямых АА₁ и ВВ₁, т. е.

4) Тогда через две точки М и М₁ проходят две прямые АА₁ и ВВ₁, что противоречит аксиоме существования прямых. Следовательно, прямые АА₁ и ВВ₁ не пересекаются, а значит, по определению параллельных прямых.

Признаки параллельности прямых.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

b

O

H₁

H

B

B

A

A

b

a

a

Доказательство: Пусть при пересечении прямых a и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы равны. Докажем, что a II b.

1) Пусть

2) Пусть Проведем через середину отрезка АВ. На прямой b от точки В отложим отрезок BH₁ = AH. Проведем отрезок ОH₁.

3) Рассмотрим ∆AHO и ∆BH₁O.

4) Из 5) Из

6) Из 7)

a

c

b

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано:

Доказать:

Доказательство: 1)

2) и являются внутренними накрест лежащими

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Доказать:

Доказательство:

1)

2) и являются внутренними накрест лежащими

Теорема 4 (об углах с соответственно параллельными сторонами). Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны или в сумме составляют 180°.

K

Р

K

Р

В₁

А₁

А

В

O₁

O

O

O₁

В

В₁

А₁

А

Дано: Доказать:

Доказательство:

1) Если - развернутый, то тоже развернутый. У развернутого угла стороны являются дополнительными полупрямыми и образуют одну прямую.

2) Пусть - неразвернутый. Тогда возможны следующие случаи взаимного расположения этих углов:

Случай 1. (см. рисунок 1).

Продолжим непараллельные стороны углов до пересечения:

Случай 2. (см. рисунок 2).

Продолжим непараллельные стороны углов до пересечения:

4.Сумма величин внутренних углов треугольника и многоугольника следствие.

Дата добавления: 2015-04-24