Метод исключения Гаусса и LU-разложение. Понятие эквивалентности систем уравнений, понятие и состав элементарных операций

Доказательство теоремы Халецкого

1) Нужно доказать, что

, ,

2) Извлечение корня и деление допустимы во всех случаях. Нужно доказать, что – положительно определенная матрица.

Если матрица представлена в блочной форме: , и , – квадратные матрицы, т.е. , , то из того, что матрица – положительно-определенная, следует, что матрицы и – положительно-определенные

.

Этот алгоритм справедлив только для положительно-определенной матрицы.

Помимо двух рассмотренных алгоритмов, существует окаймляющая форма метода Халецкова и метод побочного вычисления.

См. вопрос 4 или:

Процесс решения системы линейных уравнений

по методу Гаусса состоит из 2х этапов:

Прямой ход

Система (2) приводится к треугольному виду

1. Предполагаем, что . Тогда первое уравнение системы (2) делим на коэффициент , в результате получаем уравнение

Затем из каждого из оставшихся уравнений вычитается первое,

умноженное на соответствующий коэффициент, в результате система преобразуются к виду:

2. В предположении, что , делим второе уравнение на коэффициент и исключаем неизвестное из всех последующих уравнений и т.д.

3. Получаем систему уравнений с треугольной матрицей:

Если матрица A имеет невырожденными все ведущие главные подматрицы , то матрица A единственным образом разлагается в произведение матриц L и U.

Системы называются эквивалентными, если они имеют одно и тоже решение.

Элементарные операции – операции, при которых в результате перестановки система является эквивалентной предыдущей системе.

Элементарные операции:

1) перестановка строк;

2) умножение строки на число, отличное от нуля;

3) сложение строки с другой строкой, умноженной на число.

Дата добавления: 2015-04-24