Закон сохранения импульса механической системы

Уравнение изменения импульса механической системы.

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости: .

В замкнутой системе импульс сохраняется.

Другая формулировка: Суммарный импульс замкнутой системы остается постоянным по модулю и направлению, хотя импульс каждого из тел системы может изменяться.

Доказательство:

Рассмотрим механическую систему из N тел, массы и скорости которых соответсвенно равны m1, m2,..., mN; V1, V2,..., VN.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из N тел механической системы:

где Fi - равнодействующая внутренних сил i-того тела системы, F - равнодействующая внешних сил i-того тела системы.

Проведем почленное сложение уравнений:

(1)

Рассмотрим левую часть полученного выражения.

= =

где = представляет собой суммарный импульс всех тел системы, т.е. импульс системы.

Первый член в правой части выражения (1) представляет собой векторную сумму внутренних сил всех тел системы. По третьему закону Ньютона каждой внутренней силе F'mn соответствует равная ей по модулю и противоположная по направлению сила F'nm, поэтому:

=0.

Выражение преобразуется к виду:

=

Производная от импульса системы по времени равна сумме внешних сил, действующих на систему.

Если сумма (векторная) внешних сил равна нулю, или внешние силы отсутствуют, то:

, т.е. импульс сохраняется.

Импульсом (или количеством движения) материальной точки (тела) называется векторная величина, численно равная произведению массы материальной точки (тела) на ее скорость и меющая направление скорости: p = mV (единица импульса - 1 (кг*м/с)).

30.

Рассмотрим действие внешней силы , приложенной к точке массой . За время элементарная масса проходит путь Работа силы на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения, которая очевидно, равна тангенциальной составляющей силы.

Но равна модулю момента силы относительно оси вращения. Работа , и будет положительна, если имеет такое же направление, как и отрицательное, если направление векторов и противоположны.

С учетом, что

Работа всех сил, приложенных к телу

Полная работа

31.

Принцип суперпозиции. Напряжённость поля, создаваемого системой неподвижных точечных зарядов q ₁, q ₂, q ₃, ¼, q_n, равна векторной сумме напряжённостей электрических полей, создаваемых каждым из этих зарядов в отдельности:

где r_i – расстояние между зарядом q_i и рассматриваемой точкой поля.

Принцип суперпозиции, позволяет рассчитывать не только напряжённость поля системы точечных зарядов, но и напряженность поля в системах, где имеет место непрерывное распределение заряда. Заряд тела можно представить как сумму элементарных точечных зарядов d q.

При этом, если заряд распределен с линейной плотностью t, то d q = td l; если заряд распределен с поверхностной плотностью s, то d q = d l и d q = rd l, если заряд распределен с объёмной плотностью r.

32. Напряженность поля точечного заряда.

Обозначим: q - заряд, создающий поле,

q₀ - заряд, помещенный в поле (внешний заряд).

Закон Кулона: . Напряженность поля: .

Тогда напряженность поля точечного заряда:

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое одним точечным зарядом. Чтобы подчеркнуть, что этот заряд мы рассматриваем как источник поля, обозначим его величину прописной буквой Q (рис. 230).

рис. 230

Возьмем произвольную пространственную точку  A. Для определения напряженности электрического поля, поместим в эту точку пробный заряд q. Согласно закону Ш. Кулона, сила, действующая на пробный заряд равна

где r − вектор, проведенный от заряда источника Q, к точке A, в которой рассчитывается поле (точку наблюдения). Тогда, по определению, напряженность поля в этой точке равна

и, заметьте, не зависит от величины пробного заряда. Формула (1), определяет напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом.
Фактически формула (2) определяет вектор напряженности в зависимости от  6 координат: трех координат заряда и трех координат точки наблюдения. Введем декартовую систему координат (рис. 231),

рис. 231

пусть в этой положение заряда определяется радиус-вектором r₁ (или координатами (x₁, y₁, z₁)), а положение точки наблюдения − радиус-вектором ro (или координатами (x_o, y_o, z_o)). Тогда вектор r, соединяющий заряд и точку наблюдения, фигурирующий в формуле (1), равен r = r_o − r₁. Следовательно, напряженность поля в точке наблюдения определяется формулой

Перепишем эту формулу в координатной форме. Длина вектора

равна

а его проекция на ось X

Следовательно, проекция вектора напряженности на ось X определяется по формуле

Две аналогичных формулы надо выписать и для оставшихся компонент  вектора напряженности. Оцените очередной раз прелесть векторной записи (2) − во-первых, короче; во-вторых, не зависит от выбора системы координат, хотя конкретные численные расчеты, все равно необходимо проводить в координатной форме.

33. Согласно уравнению второй закон Ньютона для вращательного движения

По определению угловое ускорение и тогда это уравнение можно

переписать следующим образом

с учетом

Или

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.

34. СИЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ПОЛЯ

Вектор напряженности

электрического поля E

Напряжённость электри́ческого по́ля — векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке и численно равная отношению силы действующей на неподвижный пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда : .

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ

ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ

Потенциал ϕ

Потенциал поля в данной точке определяется как работа, которую совершает электрическое поле при перемещении единичного положительного заряда из этой точки в некоторую фиксированную (опорную) точку. Потенциал – скалярная величина.
Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q, на расстоянии r от заряда равен

Потенциал определен с точностью до постоянной. Физическое значение имеет разность потенциалов, называемая напряжением U. Напряжение электрического поля измеряется в вольтах (В).

Связь потенциала ϕ с напряженностью

поля E

напряженность электростатического поля, которая является его силовой характеристикой, и потенциал, который есть его энергетическая характеристика поля.

или

т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус говорит о том, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону уменьшения потенциала.

Эквипотенциальные поверхности

Дата добавления: 2015-04-24