Типы колебаний (моды) струны закрепленной с двух сторон, закрепленной с одной стороны, роль граничных условий. Основной тон и обертоны

Струной называют тонкую гибкую нить, в которой с помощью внешних сил создано большое натяжение. Струна – простейшая колебательная система с распределенными параметрами. Малые поперечные смещения у точек струны от положения равновесия описываются волновым уравнением: d2y/dx2=p/F*d2y/dt2 (1)

где F – сила натяжения, t – время, x – координата вдоль струны, p – линейная плотность струны. Согласно уравнению (1), ускорение некоторого элемента струны прямо пропорционально кривизне струны в области этого элемента. Решение уравнения (1) может быть представлено в виде бегущих волн, расходящихся из точки возбуждения в разные стороны y=1/2[f(x-ct)+f(x+ct)],

где c=(F/p)1/2 - скорость распространения возмущения. В точках закрепления струны происходят отражения волн, причем условия отражения зависят от податливости опор. В случае абсолютно жестких опор имеет место полное отражение и картина распределения смещений y повторяется через промежутки времени 2L/c, где L – длина струны, т.е. устанавливаются колебания с периодом T=c/2L. Наличие опор (граничные условия) определяет частоты возможных колебаний струны ωn, которые кратны наинизшей, основной частоте ω1= 2π/T, т.е. ωn=n ω1, n=1, 2, 3… Конкретная картина колебаний струны определяется не только граничными условиями, но и способом возбуждения струны.

При возбуждении в струне стоячих волн точки струны имеют разные амплитуды смещений, но движутся синхронно, прогибы всех точек одновременно достигаю своих максимальных и минимальных значений. Произвольное возмущение закрепленной волны может быть представлено в виде суммы ее собственных гармоничных колебаний с частотами ωn и амплитудами смещений Аn. Наибольшая энергия колебаний приходится на основную частоту ω1, а с увеличением номера n энергия собственных колебаний падает и становится тем меньше, чем больше номер частоты. Соответственно струна излучает звук, характеризуемый основным тоном и обертонами. Последние создают тональную окраску звука – тембр.

роль обертонов относительно невелика.

Колебания струны

Рис.1

29. Определить для трубы, заполненной воздухом при нормальном атмосферном давлении, при каких наименьших частотах в ней будут возникать стоячие звуковые волны. Рассмотреть три случая: труба открыта с одного конца, труба открыта с обоих концов, труба закрыта с обоих концов.

Рассмотрим длинную трубу, наполненную воздухом. С левого конца в нее вставлен плотно прилегающий к стенкам поршень (рис. 1). Если поршень резко двинуть вправо и остановить, то воздух, находящийся в непосредственной близости от него, на мгновение сожмется (рис. 1,а). Затем сжатый воздух расширится, толкнув воздух, прилегающий к нему справа, и область сжатия, первоначально возникшая вблизи поршня, будет перемещаться по трубе с постоянной скоростью (рис. 1,б). Эта волна сжатия и есть звуковая волна в газе.

Рис. 1. ЗВУКОВАЯ ВОЛНА. а - поршень, резко сдвинувшийся в трубе в направлении стрелки, смещает соседние частицы воздуха, создает волну сжатия, т. е. звуковую волну, которая начинает распространяться в сторону от поршня; б - звуковая волна движется в воздухе с постоянной скоростью, вызывая временное повышение давления.

Труба может иметь как закрытые, так и открытые концы. У открытого конца возникает пучность стоячей волны, а у закрытого - узел. Следовательно, труба с двумя открытыми концами имеет такую основную частоту, при которой на длине трубы укладывается половина длины волны. Труба же, у которой один конец открыт, а другой - закрыт, имеет основную частоту, при которой на длине трубы укладывается четверть длины волны. Таким образом, основная частота для трубы, открытой с обоих концов, равна f = v/2L, а для трубы, открытой с одного конца, f = v/4L (где L - длина трубы). В первом случае результат такой же, как и для струны: обертоны равны удвоенному, утроенному и т.д. значению основной частоты. Однако для трубы, открытой с одного конца, обертоны будут больше основной частоты в 3, 5, 7 и т.д. раз. На рис. 4 и 5 схематически показана картина стоячих волн основной частоты и первого обертона для труб двух рассмотренных типов. Смещения из соображений удобства здесь показаны как поперечные, но на самом деле они продольные.

Рис. 4. ТИПЫ КОЛЕБАНИЙ трубы, открытой с обоих концов. а - основной тон; б - первый обертон. Продольные смещения для наглядности показаны как поперечные.

Рис. 5. ТИПЫ КОЛЕБАНИЙ трубы, открытой с одного конца: а - основной тон; б - первый обертон.

Дата добавления: 2015-04-24