Достаточные условия сходимости метода простой итерации (теоремы, оценки погрешностей)

Метод простых итераций для численного решения алгебраических или трансцендентных уравнений. (Суть метода и геометрическая интерпретация).

Алгоритм

1. Задается начальное приближение .

2. Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять или (то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение: .

Суть метода:

f(х)=0 (1) непрерывная функция заменим эквивалентным уравнением (2).

Выберем каким либо способом грубое приближение корня и обозначим его х₀.

Подставим х₀ в правую часть уравнения (2), получим х₁= , х₂= ….. х_n= (3)

Если последовательность окажется сходящейся то

Переходя к пределу в равенстве (3), получим Стало быть является корнем уравнения (2) и уравнения (1).

Теорема сходимости:

Пусть существует функция определена и дифференцируема на отрезке [a,b]. Причем все значения функции принадлежат отрезку [a,b], тогда если существует правильная дробь 0<q<1 такая что для где n=0,1,2… сходятся независимо от начального приближения , причем предельное значение и этот корень единственный.

Доказательство:

приводя к эквивалентному виду

Обозначим за q=sup

Последовательность приближений х_n есть частичные суммы S_n+1 ряда 4

S₂=x₁

S₃=x₂……

S_n+1=x_n

Члены ряда 4 по абсолютной величине начиная с 3, меньше членов арифметической прогрессии со значениями 0<q<1, q;q²;q³;…;qⁿ.

Геометрическая прогрессия является сходящейся, значит существует

В силу непрерывности можно записать , значит этот корень уравнения (2).

Докажем единственность:

Пусть существует которая является корнем (2)

, найдем

с- внутренняя точка отрезка [a,b].

Замечание 1:

1. Константа q – носит название константы Липшиця.

2. Наша теорема справедлива, если функция будет определена и дифференцируема на интервале (- , + ), но лишь в том случае, когда константа Липшиця .

3. В условиях теоремы метод итерации сходится для любого х₀ [a,b] благодаря чему он является самоисправляющийся, т.е. отдельные ошибки в вычислениях не влияют на результат.

Дата добавления: 2015-04-24